定义 5.2定义若A是n阶方阵, 是一种向量范数， 则实数

                                       (5.7)

称为 A的 导出矩阵范数 。

矩阵范数具有下列基本性质：

（ 1） ，仅当A=0时，有 ，

（2） 对任意数λ，有 ，                                      (5.8)

（ 3）

（ 4）

（ 5）对任意向量X，有

事实上，由式（5.7）定义的实数 显然满足式（5.8）中的性质（1），（2）与（5），我们证明性质（3），（4）。由向量范数的三角不等式和矩阵范数性质（5）得

于是有

由式（ 5.7）得

所以性质（ 3）成立.由矩阵范数性质（6）有

于是有

由式（ 5.7）得

所以性质（ 4）成立.

由三种常用向量范数导出的三种常用矩阵范数为：

                                  (5.9)

例 2． 已知 ，求 。

解 由定义得

因位

其特征方程为

两个根为

由定义得

定义 5.3 若 为矩阵 A 的特征值，则实数
                                                             (5.10)

称为 A 的谱半径。

定理 5.4 若 为 阶实方阵， 为 的任一范数，则有
                                                                 (5.11)

证明 设 为矩阵 的任一特征值， 为其相应的特征向量，则有

所以                            

定理 5.5对任给 ，则存在范数 ，使得
                                                             (5.12)