由于欧拉法采用左矩形公式计算积分产生较大截断误差．改进欧拉法(又称改进折线法)是采取梯形公式来计算式(7.3)右端积分，则有

               （7.6）

在式(7.6)右端取，舍去余项，则得

将作为的近似值．

在式(7.6)右端再取，舍去余项，则得

将作为的近似值．

    一般地，在式(7.7)右端取，舍去余项．则得

                   (7.7)

将作为的近似值．

式(7.7)为改进欧拉法计算公式．

   现在讨论改进欧拉法的误差，在式(7.7)中当是精确解时．

称为改进欧拉法的局部截断误差．

由数值积分的梯形公式余项得

                                   （7.8）

或简记作．

  值得注意的是，欧拉法计算公式(7.4)是的显式表达式，可直接求出，这类方法称为显式方法．而改进欧拉法计算公式(7.7)，则是的隐式表达式，一般不能直接求出，这类方法称为隐式方法．

隐式(7.8)通常用迭代法求解．首先用欧拉法公式(7.4)求出初值,然后再用改进欧拉法公式(7.8)进行迭代．其具体计算公式为

                     (7.9)

当步长h选得足够小时，迭代公式(7.9)收敛．

事实上，由式(7.8)减去式(7.9)，并应用李普希兹条件可得

于是只要选取h，使，则有

为了能使局部截断误差为，而计算量尽可能地小，通常采用当计算出后，仅作一次迭代的方法．这时计算公式为

                   (7.10)

式(7.10)中的第1式可看作对的预估，而第2式便是对此预估的校正，因

     此将此类算法称为预估一校正法，式(7.10)称为预估一校正公式．

相关链接：改进欧拉法的算法框图

例2 用预估一校正法求初值问题

在的解．

解：

因   将代人欧拉法公式(7.10)，则得

具体计算结果如表2所示：

表2

练习7．1

1．推导出解初值问题式(7.2)的后退欧拉法计算公式：

及其局部截断误差．

2．用欧拉法、预估一校正法求

在处数值解，并与其解比较．

练习题答案