定义6.1 若X是任意n维向量,实数 满足条件：

（1） ，仅当 时，有 ，                          （6.1）

（2） 对任意λ，有 ，

（ 3） 对任意n维向量X，Y有

则称实数 为向量X的范数（或模）。

常用的 三种向量的范数 为：

                                     （6.2）

例 1 已知向量X=（1，-2，3），求向量X的三种常用范数。

解

对于同一向量 ，一般来说，三种常用范数的值是不同的，但它们之间存在如下相互制约关系。

定理 6.1 设 是任意 维向量，则 的三种常用范数满足以下不等式

（ 1）                          

（ 2）                        

（3）                           （6.3）

证明 仅证（3），余下留作习题

设 ，则由

于是得

一般地，对于同一向量 的任意范数也有类似的相互制约关系。

定理 6.2 设 是任意 维向量， 是 的任意两个范数，则存在正常数 ，使得

           （6.4）

即 ，与 彼此等价。

    有了范数的概念，下面讨论向量序列收敛问题。

定义6.2 若 是任一向量序列， ，

对i=1, … ,n都有 则称向量 为向量序列 的极限，或称向量序列 依坐标收敛于向量 ，记作

                                                （6.5）

定理 6.3 向量序列 依坐标收敛于向量 充要条件是向量序列 依范数收敛于向量 ，即

                                         （6.6）