1.假设系数矩阵 A是精确的，且非奇异，则右端向量b的误差对解的影响

设 是 的误差，而 是 的误差，则有

所以                        

但由                                

可得                            

所以当 时，则有

                                                    (6.13)

2.  假设右端向量 b是精确的，则系数矩阵A的误差对解的影响

设 是 的误差，而 是 的误差，则有

设 非奇异， ，则 非奇异，且有

由范数性质得         

）

由 ，则有

                          (6.14)
3. 阵的条件数
定义 6.4若A是n阶非奇异矩阵, 则称数 为矩阵A的条件数。记作                                                                      (6.15)

容易证明，条件数具有下列性质

⑴ cond(A)≥1

⑵ cond(kA)= cond(A),k为非0常数

式（ 6.13）（6.14）可写为     

由此可见，系数矩阵 的条件数确实能反映线性方程组的解对于初始数据误差的敏感程度。

（ 1）当cond(A)很大时，则系数矩阵A的微小相对误差 或右端向量的微小相对误差 ，可能使解产生相当大的相对误差 ，则称方程组是病态的。

（ 2）当cond(A)较小时，则系数矩阵A的微小相对误差 或右端向量的微小相对误差 ，不会使解产生大的相对误差，则称方程组是良态的。

练习 6.1

1 ． 已知 ，求

2 ．证明：

练习题答案