1．一般迭代法的收敛性

    首先讨论一般迭代过程的收敛性，设

                             （6.19）

是求解线性方程组的一个迭代公式，矩阵称为迭代矩阵

定理6.6 对任意初始向量X（0），则由迭代公式（6.19）得到的序列收敛的充分必要条件是迭代矩阵G的谱半径小于1，即
                                                             （6.20）

定理6.7 若迭代矩阵G满足

               ，                                        （6.21）

    则对任意初始向量，由迭代公式（6.19）得到的序列收敛于的惟一解，且有误差估计式

                         （6.22）

证明 先证有惟一解，设矩阵奇异，则

有非零解，由此可得

这于矛盾，所以

只有零解，有惟一解。

由和定理5.6得

由迭代公式和

两边相减得

所以

     有了上面定理，在实际计算中，若规定误差是，只要看相邻两次迭代向量的差是否满足关系式

                         （6.23）

若满足，则迭代即可停止，因为已经是满足精度要求的近似解向量。

2. 雅可比迭代法公式的矩阵形式

   为了将雅可比迭代法的公式表示为矩阵形式，假定是系数矩阵A的对角部分，是严格下三角部分，是严格上三角部分，即：

则有

则雅可比迭代公式（6.18）可表示为

          （6.24）

其中雅可比迭代矩阵

        （6.25）

称为雅可比迭代矩阵

    由此可见，雅可比迭代法是一般迭代法中迭代矩阵为的特殊情形。为了给出雅可比迭代法简便常用收敛条件，我们引入对角占优矩阵的概念。

定义6.5设A=（aij）为n阶方阵，若满足

                           （6.26）

则称A为对角占优矩阵；当（6.26）中不等号全部严格成立，则称A为严格对角占优矩阵。

引理 6.8 若A为严格对角占优矩阵，则有

证明从略。

定理6.9.若系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法收敛，且有误差估计式为

            （6.27）

证明 由于系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，即满足

可得

再由定理6.7得雅可比迭代法收敛，且有误差估计式为

例4．用雅可比迭代法解线性方程组

准确到。

解 因为A 为严格对角占优矩阵，由定理5.9知雅可比迭代法收敛。

取初始值，使用雅可比迭代公式

具体结果如表6-1所示

表6-1

因为      

所以

练习6.2

1.已知方程组

，

（1）写出解此方程组的雅可比迭代公式；

（2）证明当时，雅可比法收敛.

2. 用雅可比法解方程组，准确到.

。

练习题答案

1． （1） （2）当时，A为严格对角占优阵，故雅可比迭代法收敛． 2．