§5 深入研究、学习的内容:关于狄拉克符号内积的讨论

1. 由（5。3。1）式可看出，与是对称的。被称为右矢，则

应称为左矢，并且这样的左矢也形成了一个矢量空间。这里要澄清一个概念，不要把（5。3。1）式理解为“定义一个左矢和一个右矢的内积为，它是一个复数，并且。”。这是错误的，因为只有对同一个矢量空间的矢量才能有内积的定义。内积的定义是，

设L是一个复线性空间，：是一个从笛卡尔乘积集合到复数集合的映射，且有下列性质：

（1）   对一切  当且仅当

（2）   对一切 有

；

（3）   对一切 有

（4）   对一切 一切 有

 ，

则称此映射为L上的一个内积.

这里矢量都属于同一个矢量空间。显然不属于右矢空间，所以对左矢空间的一个矢量和右矢空间的一个矢量定义内积是错误的。

那么应怎样正确地理解这个记号呢？

一个简捷的解释是如前所述，把态矢和的内积记为，或把就看作为两个态函数和（它们自然属于同一个矢量空间）的内积，即，。这个解释的不足之处是只承认存在右矢空间，没有左矢空间或没有直接回答左矢及左矢空间是什么。

当把看作左矢时，对的确切理解如下：

首先定义在上的线性泛函。线性泛函是一种线性运算，它将每一个右矢和一个复数联系起来：

能够证明，定义在右矢上的线性泛函的集合形成了一个矢量空间，称为的对偶空间，记为。中的每一个元素，或矢量，都叫作左矢，记为。线性泛函作用于右矢得到的那个数记作，亦即，

 ，  

式中是任意复数。由上式可见，对于右矢是线性的，对于左矢是反线性的。

在微分几何中，对偶空间是通过一次形式来定义的。一次形式定义为矢量的线性（复或实）函数。其意义如下：P点的一个一次形式，使得P点的一个矢量对应一个复数, 这个数记作。这个矢量上的函数满足

容易看出，点P处的所有一次形式满足矢量空间的公理。这个矢量空间称为对偶空间。容易看出矢量和相应的一次形式是互为对偶的。有以下几种表达方式：

                    。

由作用于得到的这个数叫作和的缩并。在较早的文献中，矢量常常被称为逆变矢量，而一次形式被称为协变矢量。

在这里，右矢就是矢量，左矢就是它的一次形式，反之亦然。

综上所述可见，‘定义一个左矢和一个右矢的内积为’是不正确的。正确的表述应该是“是左矢（右矢的一次形式）作用于右矢得到的一个数，称为左矢和右矢的缩并”。

2.涉及反线性算符时应用狄拉克符号的注意点

具有下列性质的算符称为反线性算符

这里是任意复数。其与线性算符的本质差别在于，

              而 。

相应地，反线性算符的厄米共轭算符的定义也要改变

反线性算符的么正算符，即反么正算符的定义是

比较上式可得

这与么正算符与厄米共轭算符的关系相同。反线性算符在讨论时间反演时是必须的。

对于线性算符，有

因为

对于反线性算符，

因为

可见，对于反线性算符，要明确地区分