常微分方程

第三节常系数线性微分方程组

　　我们知道，求齐次线性微分方程组的通解问题归结到求它的个线性无关的解。这与非线性微分方程组的通解结构比较，不能不说是简单多了。但是，求齐次线性微分方程组的通解，一般而言，办法也是很少的。在这一节我们研究常系数线性微分方程组的问题，主要是讨论齐线性微分方程组　　(5.3.1.1) 的基解矩阵的结构，这里是常数矩阵。我们通过代数的方法，寻求(5.3.1.1)的一个基解矩阵，最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。

5.3.1 矩阵指数expA的定义和性质

　　如果是一个常数矩阵，我们定义矩阵指数（或写做）为下面的矩阵级数的和
　　    (5.3.1.2)
其中为阶单位矩阵，是矩阵的次幂。这里我们规定。这个级数对于所有的都是收敛的，因而，是一个确定的矩阵。

　　事实上，由5.1.2中的性质，即，，易知对于一切正整数，有
　　
又因对于任一矩阵，是一个确定的实数，所以数值级数
　　
是收敛的（注意它的和是）。由5.1.2知道，如果一个矩阵级数的每一项的范数都小于一个收敛的数值级数的对应项，则这个矩阵级数是收敛的，因而(5.3.1.2)对于一切矩阵都是绝对收敛的。

　　应当进一步指出，级数

　　    (5.3.1.3)

在的任何有限区间上是一致收敛的。事实上，对于一切正整数，当（是某一正常数）时，有

　　

而级数是收敛的，因而(5.3.1.3)是一致收敛的。

　　矩阵指数有如下性质：

　　　如果矩阵是可交换的，即，则
   (5.3.1.4)

　　　对于任何矩阵，存在，且
=    　(5.3.1.5)

　　　如果是非奇异矩阵，
则    　(5.3.1.6)

　　证明由于级数(5.3.1.2)是绝对收敛的，因而关于绝对收敛数值级数运算的一些定理，如项的重新排列不改变级数的收敛性和级数的和以及级数的乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来，由二项式定理及，得
　　    (5.3.1.7)
另一方面，由绝对收敛级数的乘法定理得
　　    (5.3.1.8)
比较(5.3.1.7)和(5.3.1.8)，即可推得(5.3.1.6)

　　因为与是可交换的，故在(5.3.1.6)中，令，可推得
　　０
由此即有 = 。

　　因为

所以性质得证。

　　有了前面矩阵指数的性质，我们现在可以着手回答有关常系数齐线性微分方程组(5.3.1.1)的基本问题了。

　　定理1 矩阵    (5.3.1.9)是(5.3.1.1)的基解矩阵，且。

　　证明由定义易知。微分(5.3.1.9)，我们得到
　　
　　　　　　　　　
这就表明，是(5.3.1.1)的解矩阵。又因为，因此，是(5.3.1.1)的基解矩阵。定理证毕。

　　由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知(5.3.1.1)的任一解都具有形式
　　    (5.3.1.10) 这里是一个常数向量。

　　在某些特殊的情况下，我们容易得到(5.3.1.1)的基解矩阵的具体形式。

　　例1 如果是一个对角形矩阵
　　　　
（其中未写出的元素均为零），试找出的基解矩阵。

　　解由(5.3.1.2)可得

=

　　　　　

根据定理1，可知这就是一个基解矩阵。当然，这个结果是很明显的，因为在现在的情况下，方程组可以写成，它可以分别进行积分。

　　例2 试求
　　　　
的基解矩阵。

　　解因为
　　　　，
而且后面的两个矩阵是可交换的，故可得到

　　

　　　　　

因为
　　，
所以，级数只有两项。因此，所求的基解矩阵就是

　　

5.3.2 基解矩阵的计算公式

　　上一节的定理1告诉我们，齐线性微分方程组(5.3.1.1) （这里是常数矩阵）的基解矩阵就是矩阵，乍一看，问题似乎已经解决了，但转而一想，是一个矩阵级数，这个矩阵的每一个元素是什么呢？显然还没有具体给出，上面只是就一些很特殊的情况，计算了的元素。所以这一节，我们要利用常微分方程的基本知识，仔细地讨论的计算方法，从而解决常系数线性微分方程组的基解矩阵的结构问题。

　　为了计算(5.3.1.1)的基解矩阵，我们需要引进矩阵的特征值和特征向量的概念。

　　设，０    (5.3.2.1) 是(5.3.1.1)的解，其中常数和向量是待定的。为此，将(5.3.2.1)代入(5.3.1.1)，得到
　　，
因为，故上式变为　０    (5.3.2.2)
这就表示，是(5.3.1.1)的解的充要条件就是常数和向量满足方程(5.3.2.2)。

为了帮助读者更易了解，我们把(5.3.2.2)写成用它的分量表示的形式：

　　    (5.3.2.3)

根据常微分方程知识，这个方程组具有非零解的充要条件就是它的系数行列式为零，即

　　或

　　定义1 假设是一个常数矩阵，使得关于的常微分方程方程组

　　０    (5.3.2.4)

具有非零解的常数称为的一个特征值。(5.3.2.4)的对应于任一特征值的非零解称为的对应于特征值的特征向量。

　　定义2 次多项式成为的特征多项式，次代数方程    (5.3.2.5) 称为的特征方程，也称它为(5.3.1.1)的特征方程。

　　这样一来，根据上面的讨论，是(5.3.1.1)的解，当且仅当是的特征值，且是对应于的特征向量。的特征值就是特征方程(5.3.2.5)的根。因为次代数方程有个根，所以有个特征值，当然不一定个都互不相同。

　　定义3 如果是特征方程的单根，则称是简单特征根。如果是特征方程的重根（即具有因子，而没有因子），则称是重特征根。

　　例1 试求矩阵的特征值和对应的特征向量。

　　解的特征值就是特征方程

　　

的根。解之得，，。

　　对应于特征值的特征向量必须满足常微分方程方程组

　　

因此，满足方程组，所以对于任意常数，是对应于的特征向量。类似地，可以求得对应于的特征向量为其中是任意常数。

　　例2 试求矩阵的特征值和对应的特征向量。

　　解的特征方程为

　　

因此，是的二重特征值。为了寻求对应于的特征向量，考虑方程组

　　

因此，满足方程组，所以对于任意常数，是对应于的特征向量。

　　在例1中，特征向量和是线性无关的，因为，因而，向量构成二维欧几里得空间的基底。而在例2中，的特征向量只构成一个一维子空间。在这里重要的是要知道，一个给定的矩阵的对应于各个特征值的特征向量的集合是否构成一个基底。根据常微分方程的定理——任何个不同特征值所对应的个特征向量是线性无关的。所以，如果矩阵具有个不同的特征值，那么对应的个特征向量就构成维欧几里得空间的一个基底。

　　这里要注意的是，一个矩阵最多有个线性无关的特征向量。当然，在任何情况下，最低限度有一个特征向量，因为最低限度有一个特征值。下面分两种情况讨论。

　　首先，让我们讨论当具有个线性无关的特征向量时，特别当具有个不同的特征值时，微分方程组(5.3.1.1)的基解矩阵的计算方法。

　　我们可以证明下面定理。

　　定理1 如果矩阵具有具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为（不必各不相同），那么矩阵

　　，

是常系数线性微分方程组    (5.3.1.1) 的一个基解矩阵。

　　证明由上面关于特征值和特征向量的讨论知道，每一个向量函数都是(5.3.1.1)的一个解。因此，矩阵是(5.3.1.1)的一个解矩阵。因为，向量是线性无关的，所以

根据5.2.1定理，即(5.3.1.1)的一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是，可推得，是(5.3.1.1)的一个基解矩阵。定理证毕。

　　例3 试求方程组，其中的一个基解矩阵。

　　解的特征值就是特征方程

　　

的根。解之得，，。

　　对应于特征值的特征向量必须满足常微分方程方程组

　　

因此，满足方程组，所以对于任意常数，是对应于的特征向量。类似地，可以求得对应于的特征向量为其中是任意常数。

　　所以，，是对应于的两个线性无关的特征向量。根据定理1，矩阵就是一个基解矩阵。

　　一般来说，定理1中的不一定就是。不过，由5.2.1的推论，即如果，在区间上是的两个基解矩阵，那末，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上，我们可以确定它们之间的关系。因为和都是(5.3.1.1)的基解矩阵，所以存在一个非奇异的常数矩阵，使得

　　 =

在上式中，令，我们得到 = 。
因此　 =    (5.3.2.6)

根据(5.3.2.6)，的计算问题相当于方程组(5.3.1.1)的任一基解矩阵的计算问题。注意，公式(5.3.2.6)还有一个用途，那就是

　　附注1 我们知道，如果是实的，那么也是实的。因此，当是实时，公式(5.3.2.6)给出一个构造实的基解矩阵的方法。

　　例4 试求例3的实基解矩阵（或计算）。

　　解根据(5.3.2.6)及附注1，从例3中得

=
　　　=
　　　=
　　　。

　　为了讨论的需要，我们先引进一些有关的常微分方程知识。

　　假设是一个矩阵，是的不同的特征值，它们的重数跟别为，这里。那末对应于每一个重特征值，常微分方程方程组０(5.3.2.7) 的解的全体构成维欧几里得空间的一个维子空间
(),并且维欧几里得空间可表为的直接和。

　　这就是说，对于维欧几里得空间的每一个向量，存在唯一的向量，其中，使得    (5.3.2.8)

　　关于分解式(5.3.2.8)，我们举出它的两个特殊情形。如果的所有特征值各不相同，这就是说，如果每一个，而。那么，对于任一向量，分解式(5.3.2.8)中的可以表为
，其中是的一组线性无关的特征向量，
　是某些常数。如果只有一个特征值，即，这时就不必对维欧几里得空间进行分解。

　　现在利用刚刚引述的常微分方程知识着手寻求当是任意矩阵时， (5.3.1.1)的基解矩阵。我们先从寻求任一满足初始条件的解开始。从上一节的定理1，即矩阵
　　    (5.3.1.9)
是(5.3.1.1)的基解矩阵，且，可知可以表为，而我们的目标就是要将明显地计算出来，即要确切知道的每一个分量。当根据的定义，一般来说，的分量是一个无穷级数，难于计算。所以这里的要点是将初始向量进行分解，从而使得的分量可以表示为的指数函数与的幂函数乘积的有限项的线性组合。

　　假设分别是矩阵的重不同特征值。这时由(5.3.2.8)，我们有　    (5.3.2.9) 其中，因为子空间是由方程组(5.3.2.7)产生的，一定是(5.3.2.7)的解。由此即得

　　０，，    (5.3.2.10)

　　当矩阵是对角形时，不妨设

　　=，
则
　　。

所以

　　

由此，并根据等式(5.3.2.10)，即有

　

再根据等式　    (5.3.2.9) ，知微分方程组(5.3.1.1)的解　可变为

　　 = =

所以，方程(5.3.1.1)满足的解最后可以写成

　　    (5.3.2.11)

　　在特别情形，当只有一个特征值时，无需将初始向量分解为(5.3.2.9) 。这时对于任何，都有
　　０
这就是说，是一个零矩阵，这样一来，由的定义，我们得到
　　    (5.3.2.12)

　　为了要从(5.3.2.11)中得到，只要注意到

　　，其中

　　，，…，

是单位向量。这就是说，依次令，求得个解，以这个解作为列即可得到。

　　例5 如果，试求。

　　解因为

　　

　　　　　　　　

所以,是的5重特征值,直接计算可得０。因此，由公式
   (5.3.2.12)
可得
，
这样一来，有

　　例6 考虑方程组

　　，
这里系数矩阵
　　，
试求满足初始条件
　　
的解，并求。

　　解的特征方程为，所以分别为重特征值。为了确定三维欧几里得空间的子空间和，根据(5.3.2.7) ０，我们需要考虑方程组：０和０

首先讨论

０或，这个方程组的解为，其中为任意常数。子可见是由向量所张成的。

其次讨论

　　０或，这个方程组的解为，其中是任意常数。子空间是由向量所张成的。

　　现在我们需要找出向量使得我们能够将初始向量写成的形式。因为，所以

　　，其中是某些常数。这样一来，

因而，，，解之得到，，，且

　　，

根据公式(5.3.2.11) ，我们得到满足初始条件的解为
　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

为了得到，依次令等于

　　，，

代入上式，我们得到三个线性无关的解。利用这三个解作为列，即得

　　

　　值得注意的是，公式    (5.3.2.11) 是我们这一节的主要结果。这个公式告诉我们，常系数线性微分方程组    (5.3.1.1)的任一解都可以通过有限次代数运算求出来。在常微分方程的理论上和应用上，微分方程组的解当时的性态的研究都是非常重要的。