第三章 百分等级和标准分数

　　[内容导读]
　　百分等级和标准分数在教育与心理领域有着广泛而重要的应用。因此，本章内容为本课程的重点章。读者在学习过程中，要注意对概念的理解、方法的领会、特点的认识、新观念的确立和应用上的概括。
　　本章需要掌握的主要知识点有：地位量数的概念，百分等级的概念及含义，百分等级的确定方法、百分等级的若干应用、标准分数的定义与计算、标准分数Z的特点,变换及应用、百分等级常模、标准分数常模、标准分数Z和百分等级P_R之间的关系、 “标准九分”量表与百分等级和标准分数Z之间的相互关系,“标准十分”量表与百分等级和标准分数Z之间的相互关系、 正态化标准分数的概念及计算方法。
　　学习本章内容要重理解与应用,不要死记公式和有关数量比例值。

第一节 百分等级

一、数据在次数分布中的地位

　　在不同的次数分布中，数值相等的同一数据在其分布中所处的地位是不相同的。例如，在成年男性群体和成年女性群体中，同样身高1.60米的一男一女，其身高程度在各自群体中的相对位置是不同的。或许在男性群体中，只有35％左右的成年男子其身高低于1.60米，而在女性群体中，却有85％的成年女子其身高低于1.60米。可见，同样的身高1.60米，其身高的地位在两个不同的数据次数分布团体中是不一样的。又如，语文考试成绩为86分，数学考试成绩95分，若从表面数字来看（这是传统的成绩评价观）,显然数学成绩比语文成绩优秀。但要是考虑到命题难易以及同学之间相互比较的情况，这次全班同学中语文成绩只有5％的学生分数在85分以上,而数学成绩90分以上的人数比例高达60％的话，我们肯定会对语文成绩刮目相看（尽管其分数比数学还低了9 分）。可见，若能确切了解测量数据在其团体数据中的位置情况，就能使我们更全面地认识一个次数分布，并便于对不同次数分布中的数据进行比较分析。
　　在一个次数分布中，每一个数据都有相应的地位，都可用一定的地位量数来说明它所处的位置。凡是能够反映次数分布中各数据所处地位的量，就叫地位量数。本章介绍常用的两种地位量数，即百分等级和标准分数。

二、百分等级概念及含义

　　数据在次数分布中所处的地位，可用百分等级来表示。百分等级也称百分位，用记号P_R表示。百分等级反映的是某个观测分数以下数据个数占总个数的比例的百分数，在0～100之间取值。例如,在200名学生参加的某次语文水平测验中，有30％的学生其成绩低于60分，有50％的学生其成绩低于72分；有95％的学生其成绩低于85分；那么，这三个测验分数在团体数据中所处的百分等级P_R 分别是30.50和95这里，语文成绩72分位于成绩分布的正中位置，它是这个次数分布的中位数。

三、百分等级计算

　　对于未归类的一大批观测数据，可以精确地计算出各个观测数据的百分等级P_R。其步骤如下：
　　第一步：把观测数据从大到小依次排列,如第一章表1-1中把52名学生拼写测验成绩从高分到低分排列那样。
　　第二步：按不同的数据逐个地统计次数（不必分组归类），并把它们列表记录。 如第一章的表1-2就针对52名学生的测验成绩按不同的得分点进行了次数统计。
　　第三步：从低端开始向高端方向，计算各个观测点数据以下的累积次数（不包括本得分点的次数）。 这里以表1-2中的数据为基础，逐个计算以下累积次数，并列于表3-1中的第3栏。例如，表3-1第3栏中的累积次数“39”，表明拼写测验分数在40分以下的考生人数累积到达39人。
　　第四步：计算各观测点数据的“以下累积相对次数”,即比例数。计算方法是把以下累积次数除以数据总个数n。例如,表3-1第4栏目中的数据，都是“以下累积相对次数”，即比例数。
　　第五步：确定各观测点数据的百分等级P_R的计算方法，即把各数据的“以下累积相对次数”乘上100即得之。 如表3-1中的第5栏就是百分等级P_R（或称百分位），其数值一眼便可看出,它们分别是第4栏上的比例数乘上100后得到的百分数，其值在0~100之间。
　　从表3-1中的百分等级一栏可看到,52名学生拼写测验分数在数据中的地位如何。如有75％的学生成绩在40分以下；有50％的学生成绩在35分以下（这里不妨把35分看成是该次数分布的中位数Mdn)；此外,没有人低于17分；98.08％的学生成绩低于59分；成绩最高分是59分，只有一个学生得此高分，等等。

表3-1　确定观测分数的百分等级P_R的计算示例

分数X 次数f 以下累积次数 以下累积相对次数 百分等级PR 59 56 52 50 47 46 44 43 1 1 1 2 1 1 1 2 51 50 49 47 46 45 44 42 0.980 8 0.961 5 0.942 3 0.903 8 0.884 6 0.865 3 0.846 2 0.807 7 98.08 96.15 94.23 90.38 88.46 86.53 84.62 80.77 42 40 39 38 37 36 35 34 33 32 2 1 1 3 3 4 2 2 1 3 40 39 38 35 32 28 26 24 23 20 0.769 2 0.750 0 0.730 8 0.673 1 0.615 4 0.538 5 0.500 0 0.461 5 0.442 3 0.384 6 76.92 75.00 73.08 67.31 61.54 53.85 50.00 46.15 44.23 38.46 31 30 29 28 27 25 24 22 21 20 17 3 2 2 1 3 1 1 2 2 1 2 17 15 13 12 9 8 7 5 3 2 0 0.326 9 0.288 5 0.250 0 0.230 8 0.173 1 0.153 8 0.134 6 0.096 2 0.057 7 0.038 5 0.000 0 32.69 28.85 25.00 23.08 17.31 15.38 13.46 9.62 5.77 3.85 0.00 Σ 52 / / /

四、百分等级应用

　　百分等级在学校教育和科学研究中有许多实际应用。

1.成绩的相对评价与记分

　　评价学生的学习成绩，有绝对评价和相对评价两种。利用测验原始分数直接评价学生的学习情况，往往是绝对评价；根据原始分数在次数分布中的相对地位来评价，则是相对评价。
　　利用百分等级P_R，可以开展学习成绩的相对评价。主要表现在两个方面，第一，用百分等级P_R作为学习成绩记分方式，称为百分等级分数。例如，前述语文测验中，原始数60分的百分等级是30，原始分数72分的百分等级是60，原始分数85分的百分等级是95；这样采用百分等级这种相对评价的记分方式，这三个成绩分别是30分，60分和95分。这种分数是百分等级分数。第二，向学生提供测验成绩的百分等级P_R信息，以便让学生了解自己的卷面成绩在团体中的地位。由于测验分数与命题难度有关，有时从卷面分数难以客观比较不同学科的成绩水平，因此，欲客观了解学生的原始分数在学生成绩总体中所处的地位高低，可借助百分等级P_R这一位置信息。前几年，我国部分省市在建立高考标准分数制度过程中，就使用了百分等级这一地位量数。

2.心理与教育测验的常模

　　常模是用来解释测验结果的数据资料。在制定测验常模时，其中有一种方法是通过有效的抽样测试，取得测验原始数据，并且在测验原始分数和百分等级之间建立对应关系，用以解释测验分数。这种常模称为百分等级常模。它在教育与心理测验中有特殊的使用价值。在智力测量工具中，我国引进与修订的瑞文标准推理测验常模资料就是按不同年龄组建立百分等级常模，以百分等级位置信息来解释和评价人的智力发展水平。