§2.3  母线平行于坐标轴的柱面方程

假设动点的坐标间的关系是不含变数的方程

                           （1）

在平面上，这方程表示一条曲线，这曲线上的点的坐标满足这方程。假定上的一点对于平面上的平面坐标系的坐标是，那么点在空间坐标系里的坐标是，显然满足（1），因此点在曲面(1)上，从而曲线上各点均在（1）所表示的曲面上。不仅如此，自作轴的平行线，并于其上任意取一点（图2-13）。假定，那么点的坐标是，容易知道满足(1)，因此也在曲面(1)上，从而整个直线在曲面（1）上；反过来，如果在曲面（1）上，那么有

                      

所以在平行于轴且过曲线上的点的直线上。所以曲面(1)是由平行于轴的直线沿曲线移动而成，这样的曲面叫做柱面，曲线叫做它的准线，形成柱面的动直线叫做它的母线。因此方程决定一个母线平行于轴的柱面。

同理，与都表示柱面，它们的母线分别平行于轴与轴。

例如方程

                                          (2.3-1)

                                          (2.3-2)

                                            (2.3-3)

分别表示一个柱面，母线平行于轴，它们在平面上的准线分别是椭圆、双曲线和抛物线，所以分别叫做椭圆柱面（图2-14），双曲柱面（图2-15）与抛物柱面（图示2-16）。它们的方程都是二次的，所以都叫做二次柱面。