重点与难点

 

重点：

（1）常见二次圆柱面与圆锥面，

（2）平行截面法，二次曲面的方程和图形

（3）一般直纹面和简单直纹面、旋转面如何用母线与准线建立方程。

 

难点：

识别各种曲面的方程、图形及如何建立方程。

 

主要结论如下：

§4.1 柱面

定义4.1.1  在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，那族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线。

设柱面的准线方程为

                                         (1)

母线的方向数为。如果为准线上的任意点，那么过点的母线方程为

                                     (2)

且有

                            (3)

（2）与(3）两组式子共有四个等式，从这四个等式消去参数，最后得一个三元方程 

这就是以（1）为准线，母线的方向数为的柱面方程。

 

§4.2  锥面

定义4.2.1  在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。

设锥面的准线为

                                             (1)

顶点为，如果为准线上的任意点，那么锥面过点的母线为：

                                   (2)

且有

                            (3)

从（2），（3）四个等式消去参数，最后可得一个三元方程：

这就是以（1）为准线，为顶点的锥面方程。

  

定理4.2.1  一个关于的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。

推论  关于的齐次方程表示顶点在的锥面。

§4.3  旋转曲面

定义4.3.1  在空间，一条曲线绕着直线旋转一周所产生的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。曲线叫做旋转曲面的母线，定直线叫做旋转曲面的旋转轴，简称为轴。

显然，旋转曲面的母线上的任意点在旋转时形成一个圆，这个圆也就是通过点且垂直于轴的平面与旋转曲面的交线，我们把它叫做纬圆或称纬线。在通过旋转轴的平面上，以为界的每个半平面都与曲面交成一条曲线，这些曲线显然在旋转中都能彼此重合，这曲线叫做旋转面的经线。

现在来求旋转曲面的方程。

在空间直角坐标系下，设旋转曲面的母线为

                                       (1)

旋转轴为直线

                                (2)

这里为轴上的一个定点，为旋转轴的方向数。

设是母线上的任意点，那么过的纬圆总可以看成是过且垂直于旋转轴的平面与以为中心，为半径的球面的交线，所以过的纬圆的方程为：

   

当点跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有的纬圆，这些纬圆生成旋转曲面。

又由于在母线上，所以又有

从（3），（4），（5），（6）四个等式消去参数最后得一个三元方程。

                  

这就是以（1）为母线，（2）为旋转轴的旋转曲面的方程。

把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取做坐标轴，这时旋转曲面的方程具有特殊形式。

设旋转曲面的母线为

                                       (10)

旋转轴为轴

                                            (11)

如果为母线上的任意点，那么过的纬圆为

                 

且有

                                          (14)

从（12），（13），（14）三式消去参数得所求旋转曲面的方程为

                                    (15)

同样，把曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程是

                                    (16)

对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可以类似的求出，这样我们就得出如下的规律：

当坐标平面上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出这样的旋转曲面的方程，只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。

§4.4  椭球面

定义4.4.1  在直角坐标系下，由方程

                     (4.4-1)

所表示的曲面叫做椭球面，或椭圆面，方程(4.4-1)叫做椭球面的标准方程，其中为任意的正常数，通常假定。

利用平行平面的截口来研究曲面图形的方法，简称为平行截割法，

椭球面的方程除了用标准方程(4.4-1)来表达外，有进也用参数方程

                                          (4.4-2)

来表达，其中，为参数。如果从式(4.4-2)中消去参数，那么就得(4.4-1)。

§4.5  双曲面

1．单叶双曲面

定义4.5.1  在直角坐标系下，由方程

                         (4.5-1)

所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程(4.5-1)叫做单叶双曲面的标准方程，其中是任意的正常数。

图4-10是单叶双曲面(4.5-1)的图形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

用平行于的平面来截割单叶双曲面(4.5-1)

 

2双叶双曲面

定义4.5.2  在直角坐标系下，由方程

                             (4.5-2)

所表示的图形，叫做双叶双曲面，方程(4.5-2)叫做双叶双曲面的标准方程，其中是任意的正常数。

图4-14是双叶双曲面(4.5-2)的图形。

在方程(4.5-2)中，如果，那么这时截线(8)为一圆，曲面就是一个旋转双叶双曲面。

方程

                    与

所表示的图形，也都是双叶双曲面。

 单叶双曲面与双叶双曲面统称为双曲面。

§4.6  抛物面

    1．椭圆抛物面

定义4.6.,1  在直角坐标系下，由方程

                                    (4.6-1)

所表示的曲面叫做椭圆抛物面，方程(4.6-1)叫做椭圆抛物面的标准方程，其中是任意的正常数。

图4-15是椭圆抛物面(4.6-1)的图形。

如果我们用平行于面的平面截割椭圆抛物面(4.6-1)得

在方程(4.6-1)中，如果，那么方程变为（4.3-5），即

                  

 

这时截线（3）为一圆，曲面就成为旋转抛物面。

2．双曲抛物面

定义4.6.2  在直角坐标系下，由方程

                             (4.6-2)

所表示的曲面叫做双曲抛物面，方程(4.6-2)叫做双曲抛物面的标准方程，其中为任意的正常数。

如果用平行于面的平面来截曲面(4.6-2)，截线总是双曲线

                                          (8)

（图4-17）。双曲抛物面也叫做马鞍曲面（图4-17）。

椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫做无心二次曲面。

§4.7  单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

我们在前面已经看到，柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面，而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线。柱面与锥面都是直纹曲面。

首先考察单叶双曲面

                                         （1）

其中为正的常数，把（1）改写为

                        （3）

与两方程组

                                (4)

与

                                (4’)

方程组（4）与（4’）实际上是（3）式中当参数和时的两种极限情形，显然不论取何值，（3）以及（4），（4’）都表示直线，我们把（3），（4），（4’）合起来组成的一族直线叫做族直线。而族直线是单叶双曲面（1）的一族直母线，称为族直母线。

同样可以证明由直线

                                        (6)

（其中为不等于零的任意实数）与另两直线（相当于（6）中当和的情形）

                               (7)

与

                              (8)

合在一起组成的直线族是单叶双曲面（1）的另一族直母线，我们称它为单叶双曲面（1）的族直母线。

图4-21表示了单叶双曲面上两族直母线的大概的分布情况。

推论  对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点。

为了避免取极限，我们常把单叶双曲面（1）的族直母线写成

                                       (4.7-1)

对于双曲抛物面

                  

同样地可以证明它也有两族直母线（图4-22），

它们的方程分别是

 

                                         (4.7-3)

与

                                         (4.7-4)

并且也有下面的推论：

推论  对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这一点。

定理4.7.1  单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。