英国中小学数学教育的特点     谈到英国的数学教育，不能不说一说著名的柯克克洛夫特（W.H.Cockcroft）报告。这个报告反映了80年代以来英国数学教学改革的基本思想。报告所提出的要求与建议，在《国家课程中的数学》的学习大纲与成绩目标的制订、A水平数学和GCE大纲的制订、教材设计与编写、教学方法的改革以及教育评价的组织等方面都得到了采纳，具体体现了当代英国数学教学的一些特点。本节我们先简要地介绍柯克克洛夫特报告，然后对英国数学教育的特点作一概括，并作必要的说明与补充。 一、柯克克洛夫特报告简介     70年代，"新数学"运动受到公众的批评，英国一些地区开展了"回到基础"的运动，但是数学教育状况未见明显好转，许多中学毕业生缺乏生活和工作所必需的数学能力。这种情况引起了英国政府的重视。1978年，根据议会的建议，决定成立国家学校数学教育研究委员会，其成员有中小学教师、教育界人士、数学界人士、政府官员、企业家、工会领导人等，主席是柯克克洛夫特博士，所以这个委员会又称柯克克洛夫特委员会。     经过三年的调查研究工作，这个委员会于1982年1月公布了一份《数学算数（Mathematics Counts）》的报告，即通常所称的柯克克洛夫特报告（以下简称"报告"）。"报告"得到了广大教师和行政官员的高度评价，得到了国会的认可，认为"报告对整个中小学数学教育做了中肯的分析唱出的改革数学教学的建议应及时采用"。这个报告也受到许多国家数学教育家的重视，1984年在第五届国际数学教学会议（ICME5）上散发了这个报告，引起了深入的讨论。     报告包括三个部分：（1）分析成年人生活工作、以及进一步学习对教学的要求。（2）根据上述需要建立和谐的数学课程。（3）提出保证良好的数学教育水平的条件，特别是强调对教师的培养。     "报告"提出了六个要素，这些要素是对所有年龄和各个教学水平的学生进行成功的数学教育所必须具备的。这六个要素是："各水平的数学教育应该预见到由教师去说明教材的可能性；教师与学生、学生与学生之间对教材的讨论；适当的实践作业；学生的基本技能的培养及其在实践中应用为目的的训练；问题解决，包括在日常生活中的应用；研究工作"报告"否定"回到基础"的口号，单同时强调必须使学生获得一定的口算、笔算以及近似与估算的技能。针对轻视心算的状况"报告"认为"在数学课中削弱心算和口算，意味着不能认识心算在整个数学中所占有的中心地位"，提倡心算、笔算和计算器方法的灵活运用。     "报告"强调指出，相同年龄的学生的数学学习存在很大的差别。例如，通过对不同年龄组的儿童进行大范围的测试结果的分析，委员会得到这样的结论：在理解数字的位值时"存在着7岁的差距"。例如写出比6399大1的数，通常是11岁的中等学生能完成的，但是确有一些14岁的学生不会做，而也有7岁的儿童能够完成。对于其他问题再有类似的比较。因此，在教学大纲中应该注意同一年龄的学生在理解和形成技能的水平上所存在很大的差别。     "报告"认为在编制教学大纲时从高到低的做法是不可取的。所谓"从高到低"，就是从为知识发展水平高的学生设计的大纲出发，通过删减一些困难问题或降低其他问题的研究深度，编制出为知识水平较低的学生所用的大纲。"报告"主张"从低到高"来编制大纲，即首先研究适合于低水平学生发展的教材内容，然后随着儿童发展水平的提高逐步扩充。如下原则是基本的：在建立教学教育时，无论什么问题，如果不可能用适当的方法为面临研究该问题的儿童所发现，那么这样的问题就不能列入大纲之中。因此，需要建立"区别化的大纲"，即必须针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程。     作为出发点，柯克克洛夫特报告列出了一张关于数学课程内容的"基础表"认为它应是全体11－16岁的中学生数学大纲的组成部分，它应是数学能力最低的那些学生（约占40％）的基本学习内容。"基础表"将全体学生所必需的能力分成三个主要方面：（1）在不同的情境下读数学、写数学和谈论数学（2）用不同的形式进行计算：心算、笔算和"机算"（用计算机、计算器）（3）将计算和一定单位制下的度量相结合，会将一种度量单位转换成另一种度量单位。"基础表"按如下十个标题列出了对学生知识与能力的要求：数；钱币；百分数；计算工具的使用；时间；度量；图表与图示；空间观念；比和比例；统计思想。每一部分列出了内容要求与教学建议。     能力水平较高的学生有可能在16岁之前就完全或几乎完全掌握"基础表"的内容，因此对他们来说大纲应作适当扩充与加深。在每一教学阶段，学生都可以在其能力许可的范围内扩充与加深自己的数学知识。在中学学习一开始就要特别注意有天赋的学生的教育，要给他们提供足够的数学内容，否则这部分学生就会对数学失去兴趣并在以后很难恢复。 "报告"注意到考试对于学校教育工作的内容与安排的影响，提出了任何数学考试都应遵循的两条基本原则：一是试题与其他测试方法，应该考查学生懂得哪些知识，而不是考查学生不知道哪些知识；二是考试不应提出使学生为难的问题，不应伤害学生的自信心。"数学课的限时笔试不可能真正评价学生的实际研究工作或更广意义下工作的能力，也不可能评价心算能力和数学推理的能力"。如果考试仅仅采用限时笔试，这就迫使教师去教学生如何应付考试，在教学过程中提供类似的作业，在日常教学过程中排挤实践活动与探究工作的时间和地位。为此，"报告"建议应注意教师对学生知识的评价。     "报告"认为需要评价（测试）数学能力水平较低的学生成绩的方法。对"后进生"的评价，也不应局限于计算能力，而首要的是要考查他们将数学应用于解决日常生活问题，如购物、旅行、家庭经济、安排休息等能力，计算能力的考查应与这些活动结合起来进行。委员会建议对考试方法的改革作进一步的研究，以便能考察"后进生"的进步。 对于中学高年级（16－19岁）的数学课程，"报告"认为，尽管许多人将数学作为继续学习大学课程的基础科目，但并不全部是这样的，更何况进入大学的学生也并不都是研究数学的，因此，高年级的数学课程不仅要为进一步的学习奠定基础，而且应建立和谐的课程。"报告"十分强调数学教育的目的是培养学生的能力，认为仅仅依赖于教师讲解的教学方法是消极的被动的，最重要的是通过学生独立的研究、讨论发展解题技能，并转化为自己的思想，从而提高学生将数学应用于研究和工作的自信心。     传统的高年级数学往往被人们认为是非常专门化的枯燥的科目，与生活及其他科目（除物理外）联系很少。"报告"认为应该把重点转移到数学应用的方法与领域的多样性上，并用各种资料去说明这些方法。例如，社会科学使有创造精神的教师有可能去解释"数学建模"。"报告"还认为高年级数学应包含一些应用数学的重要部分，它们既是研究的对象，也是进一步研究的工具，从而树立正确的数学观。这样的应用数学可能有多种形式，在英格兰和威尔士的中学实践中主要是引进概率统计或力学。     "报告"还提倡高年级学生阅读数学专业文献，培养独立研究数国学的能力。另外，对于不以数学作为主攻方向的那些学生，"报告"认为应为他们设计合适的数学课程，重点要放在理解上。其主要目的是发展数学思维和扩充已有的知识，但不必对运算能力提出更高的要求。例如，在学习数学分析时，不应花时间在复杂函数的微分与积分的技巧上。课本应说明应用数学知识的方法，包括研究数学的历史发展的途径。     关于计算器和计算机，"报告"认为，电子计算机的日益普及对数学教育有深远的影响。"报告"提出应该认真研究的两个基本问题：一是用什么途径应用计算器以便改善和简化教学过程；二是在怎样的程度上采用计算器可能改变教学内容，将大纲中的重点转移到另一些课题。"报告"建议，无论是小学还是中学，数学教学都应该把计算器作为辅助方法来应用。"报告"还说："微机在学校中的日益普及使数学教师从根本上有可能扩充数学的实际应用，也有可能组织目前尚未知道的新的工作方法"特别应注意使用微机对于个别学生尤其是知识水平高的学生的积极作用。     此外，"报告"还非常注意教师的培养，对于数学教师的职前培训|和对在职教师的帮助等问题也提出了不少建议。限于篇幅，在这里就不细说了。 二、英国中小学数学教学的特点     柯克克洛夫特报告反映了英国80年代以来数学教学改革的基本思想。从第二、三节的介绍可以看到，英国新的课程大纲和教材具体体现了"报告"的精神，采纳了"报告"的建议，从这些材料读者不难看出英国中小学数学教学的一些特点。作为本章的小结，我们对此作一概括，并作适当的补充。      1．区别化     区别化是英国数学教学的一个显著特点。英国不少数学教育家的研究表明，儿童对于概念的理解存在着明显的差异，这是实行区别化的主要理论依据。并且，在多年的实践中积累了丰富的、有创造性的经验，这已在英国中小学数学课程大纲、教材和教学方法等方面有明显的反映。例如国家课程的水平区别化；第6学级数学课程的分流并实行必修加选修的结构，设计广泛的弹性课程；教材的多样性以及教学进度的灵活性等等。     在教学活动的组织上，同一年龄段的学生按其能力水平不同分班教学，即使同一个班级，数学课也常常创造各种条件使学生按各自。的进度安排学习活动。例如，笔者曾访问的一所中学，它的九年级的。学生的数学课分成三个班进行，大致水平分别相当于水平7－6，6－5和4－3。     此外，对于教学评价，一方面，很注重教师的评价，即不光是看考试的分数，而是教师在日常教学过程中对学生考察了解，鼓励学生（尤其是"后进生"）所取得的进步。另一方面，GCSE考试与阶段末的国家统一考试，以及GCE考试，也都提出了不同水平不同要求的试卷。     2．注重应用     英国教育改革法（ERA，1988）第一节认为，学校必须提供宽广而和谐的课程，一方面它应促进学生精神、道德、文化、智力和身体的发展，另一方面应为学生准备好成年人生活的机会、责任感与经验。从英国中小学数学课程的目标与内容可以看出，他们首先考虑的是满足所有学生今后生活和工作的需要，柯克克洛夫特报告的"基础表"的所有内容都列入了国家课程的前几个水平中。     《国家课程中的数学》将成绩目标分成五大块并据此安排教学内它不仅将"运用和应用学"单独列为一项成绩目标，而且贯穿于整个数学课程，成为其他四项目标的灵魂与核心，强调有关知识、技能和理解力的应用。     "运用和应用数学"十分注意面对解决实际问题与日常生活问题，包括提出问题、设计任务、作出计划、收集信息、选用数学、运用策略、获得结论、检验和解释结果等等，而不是局限在书本上现成的"问题"。例如，为研究最好的储蓄方式（或地点），就要去调查各家银行不同存款形式、期限的利率；研究公用电话的位置等等。     "数据处理"是传统中学数学没有的，在国家课程中它不仅占有很大的比重，而且其目标也突出应用于解决实际问题，而并不仅仅是理解一些统计概念，做一些用已知数据进行计算的练习。     另外三项目标"数"、"代数"与"图形与空间"表面看接近于传统的算术、代数与几何，但实质上已经面目全非，它不再拘泥于原来的那种"严格"的逻辑体系，而是从实际出发，注意运用有关的知识与技能解决问题（包括现实问题与数学内部的探究问题），赋予新的内容与着重点。例如，"数"中特别重视近似与估计，使学生懂得度量是近似的，懂得近似数的误差及其对计算的影响；"代数"十分重视模式与关系的探求，用符号表示一般规律（经验公式），解释表示现实生活情境的图象；"图形与空间"突出度量、画图、制作模型等等。     在第六学级的数学课程中，重视问题解决，特别是建立数学模型能力的培养。A水平的数学不仅专门开设了"题解决"作为必修单元，而且由于微积分、概率统计、力学的引入拓宽了数学建模的范围。例如，?quot;微积分入门"中优化问题（极大极小）的数学模型，"微积分方法"中列微分方程的数学模型，在"牛顿运动定律"单元的第一个课题也是"数学模型"。至于选修单元，更是显著地研究两大系列（力学概率）中的大量数学模型注重应用还表现在加强数学与其他学科的联系，建立交叉课程方面。一般来说，交叉课程的课题包括：经济与工业的理解，职业教育与指导，健康教育，公民教育和环境教育。例如，就经济和工业理解方面而论，数学课可以安排如下一些课题的活动：     第一学段：商店（讨论自己买什么，观察本地商店，作地图，说明产品与服务的图）；      第二学段：班级小型企业（植物的播种、生长与出售），班级社会企业（为地方老人组织一个茶会）；     第三学段：班级设计（分析超级市场及市场体系的发展）；     第四学段：班级小型企业（家畜的饲养和交易）。     前面我们介绍的"世纪数学"中的课题系列，SMP的课题小册子，都提供了交叉课程、进行"运用与应用数学"教学的教材。     教学评价也反映了加强应用的思想。GCSE考试不仅在常规的笔试中有许多联系实际的试题，而且还专门有一项课题作业，占总成绩的20％。它是由实践性和研究性的开放性作业组成的，主要考察"运用和应用数?quot;的能力，包括口头交流，讨论数学思想，收集并处理数据等。例如1994年的GCSE"样卷"，水平4有一份小型作业（"篮球"），其中有这样一题："约当的靴"：约当是芝加哥公牛队的队员，他身高6呎6吋，体重195磅。题中给出一张图，画出他的一只靴底的实样和靴的直观图（缩小的，标出其高为19cm）。（1）求靴底的近似面积。（2）设计一只盒子，可装这样的一双靴子。（3）画出所设计盒子的展开图，标上必要的尺寸。     3．注重过程、注重活动、注重能力培养     从第二、三节的介绍我们已经指出了英国数学教学的这个特点，例如，英国国家课程中的数学除了明确成绩目标外，在学习大纲中规定了学生应从事的活动，而不像传统的教学大纲那样着重于"知识点"。新的《MPA世纪数学》等教材都突出学习过程，注重学生的数学活动，特别是探究活动。     这个特点也表现在教学活动的组织上。笔者在英国曾访问了一些中学，听（看）了不少数学课，总的感觉是很少有一节课光是"教师讲、学生听"的，大多数是教师组织学生参与一系列活动，如实验、游戏、讨论等等，让学生自己去发现规律，获取知识。学生学得生动、活泼、主动。作为例子，下面介绍笔者所看到的几节数学课。     有这样一堂八年级的数学课，主要课题是"平方差"。教师先在黑板上写了一个算式：52－42＝9，然后，让学生自己出类似的题目，并用计算器（课上发给学生）进行计算。有个别学生出了这样的题目：42－82，教师就强调应该大数减小数。接着，就在黑板上依次写出：32－22＝5、42－32＝7，…102－92＝19，让学生看看有什么规律。并要学生猜测1012－1002＝？（答201），再让学生用计算器检验这个猜测的正确性。     然后，再提出问题62－42＝？等，问学生能发现什么？有些学生发现了，举手，教师走近俯首听学生轻轻述说他的发现，可以看出学生流露出成功的喜悦。值得注意的是：在这堂课上，教师并没有向全体学生说明问题的答案，更没有给出平方差公式，而是布置一个作业：请学生将自己的发现用代数句子写出来。     课后，笔者与这堂课的教师交谈时，那位教师很自信地认为，这样做，"学生自己发现，记得牢"。     再如A水平（数学的一堂统计选修课，课题是"普畦松近似到二项式近似"），11名学生分成两组。提出课题后，教师取出500克红小扁豆和一汤匙荞麦片混和，取一小匙作为样本，让学生数荞麦片的粒数，然后让两组同学分别报出他们的各次计数的结果并记录在黑板上，最后教师提出二项式近似公式，让学生用计算器检验他们的实验结果是否与公式一致。     就某种意义上来说，他们对"知识?quot;、对各种数学结论包括公式、定理、法则等远远不及我国的数学教学那么注重，不仅数量少，而且对于记忆的要求也不高。一个明显的例子就是GCSE考试，许多基本公式诸如三角形面积公式、二次方程求根公式等即使对于水平10也都附在试题前给出的。他们更看重的是获得知识的活动过程，注重对知识的理解和运用，对一般规律的探究能力的培养。     4．重视计算器与计算机的使用     柯克克洛夫特报告中提到的有关计算器与计算机的使用的建议已在数学教学中逐步贯彻，翻开英国国家课程数学的文件，从水平4开始几乎每个成绩目标都提到了使用计算器与计算机。在各种教材中也有明显的体现。     课堂教学经常让学生使用计算器。每个教室都配有足够的计算器，上课时发给学生使用（每人一只）。有些课在计算机实验室上，1－2人用一台计算机。笔者曾看过几节这样的课，有的是探求计算模式（如n*5＋1），也有的是用Logo语言绘制各种多边形或重复图案，使学生认识和理解几何图形，也提高了学生的学习兴趣。     计算器与计算机的广泛使用也引起了教学内容的变革，尤其突出的是注重数值计算（近似计算），例如解方程的迭代法，"尝试改进"法，而二次方程的求根公式相对而言反而放在较后的位置。再如定积分的数值计算，解微分方程的逐步法等等。     其他还有一些特点，例如注意教学的可接受性；注意寓教于乐，提高学生兴趣；注意师资培养等等。限于篇幅，这里不再一一赘述了。