英国最新数学课程标准（小学部分）评介     英国教育署（department for education and Welsh Office）于1995年1月颁布了最新的国家《数学课程标准》(Mathematics in the National Curriculum)。并规定小学于1995年8月开始实行，中学于1996年8月开始实崐行。这个课程标准，反映了英国对于中小学数学教育的最新设计思想。在教学目标、教学内容和教学方法上都有一些值得我们借鉴之处。特别是对于数学教育的认识，数学教育目标和内容的设计，对于在数学教育中如何培养学生的数学意识，如何培养学生在现实世界中认识和理解数学知识等方面，都有一些很值得我们分析研究和参考之处。     根据英国的课程标准，中小学教育分为四个阶段。第一个阶段是1－2年级（5－7岁）；第二阶段是 3－6 年级（7－11岁）；第三阶段是 7－9年级（11－14岁）；第四阶段是10－11年级（14－16岁）。而这个数学课程标准是将整个中小学作为一个整体来设计的。教学目标和教学内容中所涉及的各个方面都是紧密联系的。但在表述上各阶段又有相对的独立性。本文重点对英国数学课程标准中相当于我国小学阶段的内容，即《数学课程标准》中的第一阶段和第二阶段的内容作一个简要的评介。 一、英国《数学课程标准》的基本内容     这个课程标准分为两个主要部分。第一部分是学习纲要，规定了各年段数学教学范围和基本内容。第二部分是教学目标（Attainment Targets），崐主要规定学生在不同水平上所应达到目标。 （一）学习纲要（Program of Study)     在学习纲要中，各阶段都规定了学习的范围和内容。每一个阶段又分为"使用和运用数学；数和运算；形状、空间和测量；处理数据（第一阶段除外）四个方面的内容"。现将第一、二阶段的主要内容介绍如下：     1．使用和运用数学。这部分内容主要说明需要学生了解和掌握的有关数学的态度、方法、意识、数学语言和思维等方面的内容。包括"选择恰当的方法解题"、"培养数学的语言和交流能力"、"培养数学的思考能力"等。如，在第一阶段，要求学生学会"选择和使用数学仪器和材料；运用不同的数学方法，寻找克服困难的途径；理解有关数量、形体特征和比较的词语；会用'如果… …将会'、'为什么？'等语言提出问题；理解概括性的语言，象'所有能被2除的整数'"等。在第二阶段，要求学生"试用不同的学习方法，判定和获取学习活动中所需要的信息"；"培养数学的策略崐和克服困难的精神"；"理解和运用有关数量、图形的性质和运动、测量、简单的概率、以及相乘、因数、对称等关系方面的语言"；"在解题结果中寻找范型"，"用自己的语言表述解题的过程"等。     同时，在每一个阶段都强调给学生运用数学知识进行实践和探索的机会。例如，"在解决现实生活的问题和解决学习数学本身的问题中，使用和运用相应的数学知识。""设计和制定自己的记录方法。""以符合逻辑的思考方式提出问题和听取不同的建议"等。     2． 数和运算。主要包括三个方面的内容：数概念的认识；数之间的关系和运算方法的理解；解数字问题。     第一阶段：认识1000以内的数；初步认识小数、分数和负数；探索加减乘除的计算模型；20以内的加减法口算；学习与2、5、10的倍数有关的乘除法，以及口算的方法；学习加减法的多种方法，包括减法是加法的逆运算；理解加法和减法（求剩余）的意义及其相互关系；理解乘法和除法（等分和连减）的意义；选择合适的计算方法，利用适当的计算仪器和计算器进行多位数的计算；用不同的方法检验计算结果。此外，还有初步的分类和搜集记录数据等内容。     第二阶段：数的读写和排序；理解数字的位值；运用对数字的位值的理解进行运算；进一步认识负数，认识两位小数；在一定的情境中理解和运用分数、百分数，以此来估计、描述和比较一个整数的分率；探索数的序列，运用简单的关系解释数的模型；进一步理解、概括和运用简单的公式（如n个15磅的物品用c=15n来表示）；理解数字之间的关系，开始使用方程，学习用字母表示数。运用第一象限的坐标，在直线或平面上认识数的关系；巩固加减法的知识；认识10×10以内的乘法；扩展口算的方法，能迅速地从已知的条件找出未知数；利用乘法、因数、平方等知识，学习质数、立方和平方根；掌握各种计算100以内数的口算方法，说明所用的范型；进一步发展加减法的口算和两位数乘除三位数的乘除法。理解乘除法的概念和四则运算的关系。负数的加减法，小数的四则运算，分数和百分数的计算，适当的时候可以运用计算器；用不同的方法检验计算结果。     3． 形状、空间和测量。主要包括三个方面：理解和运用图形的范型和性质；理解和运用位置和运动的性质；理解和运用测量的方法。     第一阶段：制作一般的二维和三维图形；用数学的标准对图形进行分类；认识和运用图形的特征，包括顶点，边和面，矩形，圆形，三角形，正方体，长方体，以及六边形，五边形，圆柱体，球体；认识简单的对称图形；描述位置，认识直线运动，即简单的变换、旋转、结合；理解作为旋转而形成的角，认识旋转四分之一周，半周，认识直角；运用恰当的语言比较物体和事物，运用非标准和标准的长度、重量和容积单位；开始使用更多的标准单位；选择和运用简单的测量工具。     第二阶段：想象和描述图形的运动；制作更精确的二维和三维图形和模型；认识图形的特征和性质，运用它们进行分类和解题；理解简单图形的全等；认识二维和三维图形的轴对称和旋转对称；通过变换，反射和旋转转换二维图形；在特定情况中使用坐标；选择合适的长度、重量、容积和时间的标准单位，并用它们估计日常生活中的情形；理解单位之间的关系和转换；选择和运用适当的测量工具；更准确地理解数和测量标准；寻找简单图形的周长，实际测量圆的周长，认识圆周率π；通过数单位的方法寻找面积和体积。     4． 处理数据。处理数据的内容从第二阶段开始，主要包括搜集、表达和解释数据，初步地理解和运用概率两个方面。具体内容包括：     解释和制作频率表，包括将不连续数据进行分组；搜集并运用适当的图表表示不连续的数据，适当的时候运用计算机绘制统计图；理解和运用平均数，进一步扩展测量的范围；从统计图表中得出结论，认识为什么有的结论是不确定的或是错误的；通过经验以及实验和理论，进一步认识概率；运用概率语言讨论事件和简单试验，包括"事件""合理"（fair)"不合理"(unfair)"确定""不确定""可能""等价"；理解任何事件的概率都是在不可能和完全确定之间，并运用0－1度量概率等。 （二）教学目标     在英国的《数学课程纲要》中，具体规定了不同阶段学生所应达到的目标(Attainment Targets)。这些目标从总体上分为四个方面，八个水平。四个方面是：数学的使用与应用；数与代数；形状、空间和测量；数据的处理。每一个方面都分为八个水平。标准中对于这些目标的实施作了具体的描述。"在每一个阶段结束时，学生达到哪一种水平的目标，教师要根据学生的实际情况作出判断。""第一阶段结束时，大多数学生达到1－3的水平；第二阶段结束时，大多数学生要达到2－5的水平；第三阶段结束时，大多数学生达到3－7的水平。而水平8是针对能力强的学生而定的。这里并未包括对第四阶段学生的要求。我们将第一、二阶段所应达到的1－5水平的学习目标列于下表。 二、英国《数学课程标准》的特点及给我们的启示     英国数学课程标准与我国中小学数学教学大纲相比，在内容和目标上有一些相同或相似之处，但从总体上看却有很大的差别。这种差别一方面反映在对数学教育的理解、认识和具体的实施上；另一方面也与不同的文化和社会的背景有密切的关系。我们这里不能全面深入地分析和对比两国数学教育上的异同，只是简要地分析一下英国数学课程标准的主要特点及其对我们数学教育改革的一些启示。 （一）目标明确具体，并形成比较合理的目标体系     从上面的介绍中我们可以看到，英国的数学课程标准中，对于教学目标的规定十分具体明确。四个方面、八个水平的目标，比较清楚地反映了对学生在数学教育方面的总体要求。从目标所规定的四个方面来看，第一个方?quot;数学的使用和应用"是属于对数学的态度、方法、意识等非智力因素方面的内容。而其他三个方面是属于数学学习的具体内容。在这个目标体系中，把学习数学的态度、方法，对待数学的态度等内容作为单独的数学教育的目标，并将其放在几个方面的教学目标的首位。特别强调让学生接触周围的事物，用数学的方法认识周围的事物。如，在水平二中，要求学生"用熟悉的数学语言讨论周围的事情"，在水平三中，要求学生"学会讨论数学问题，初步学会解释思考方法。"这对于在教学中使学生学会数学的思考方法和用数学的观点认识和理解周围的事物都是十分重要的。说明在英国的数学教育体系中，十分重视学生的数学态度和数学意识的培养。也说明英国的数学教育目标体系，把智力因素和非智力因素放在同等地位来看待。并且在某种程度上更重视后者在中小学数学教育中的作用。对于数学教育目标的这种理解和在教育过程中的处理方法，是值得我们借鉴和参考的。同时，我们还可以看到，教学目标的八个层次（在这里只列出五个层次的要求），随着学生年级的提高，逐步加深。形成一个阶梯式的、逐步发展的数学教学目标模式。 （二）内容表述概括，为教材编写留有充分的余地。     在英国的数学课程标准中，对于教学内容的表述比较概括，并不十分具体。许多内容都是只给出一个内容的范围，并没有详细的表述。与我国的小学数学教学大纲中所规定的教学内容相比就比较笼统。比如，我国教学大纲中规定，一、二年级关于"数的认识"方面的内容有20以内数的认识，包括数数，数的组成、顺序、大小、读法和写法。100以内数的认识，包括数数、个位、十位。数顺序、大小、读法和写法。万和万以内数的读法和写法，包括数数、百位、千位、万位。数的读法、写法和大小比较。而在英国的数学教学纲要中，第一阶段（相当于我国的一、二年级）对数的认识的规定只有两句话，"认识1000以内的数；初步认识小数、分数和负数"。从这里可以看出，在英国的教学纲要中，对于内容的规定和限制并不十分具体。表现出对教学内容的要求比较宽松，不做细致的、统一的规定。这样可能对一些具体内容的教学出现不同的理解和要求。但从宏观上看有利于编写出不同风格的教材。教材的编者可以在这个范围内，按照自己对教学内容的理解，形成具有不同特点的教材，编写出不同形式和风格的教材。 （三）内容范围较广，为学生提供更多的学习机会。     在英国的数学课程标准中相当于我国的小学阶段的内容，不仅包括基本的算术知识和几何的初步知识，而且比较早地引入代数的概念和方法，并从二年级开始就接触负数的概念。从低年级开始，就学习简单的概率与统计的知识，初步建立概率与统计的思想。这反映英国的数学教育内容比较广，让学生从小学阶段就开始接触和学习数学各个领域的知识。虽然许多内容都只是初步认识，但这对于开阔学生的视野，比较全面地理解数学知识，并与小学的学习内容紧密联系是有好处的。我国的小学数学教学内容，从78年颁布的教学大纲开始，就改变了以往在小学阶段只学算术知识的作法，增加代数初步知识和统计初步知识，加强了几何知识的教学。这在一定程度上拓宽了学生的知识面，但在总体上仍是以算术知识为主，其他方面的知识所占的比例比较小。与英国的小学数学内容相比，在知识结构方面有很大的差异。当然，在小学阶段怎样安排各类知识的比例，仍是一个值得研究的问题。英国的作法可以给我们提供一些参考。 （四）中小学内容衔接紧密，有利于学生从整体上认识数学。     在英国的《数学课程标准》中，中小学阶段的内容形成一个比较完整的体系。在表述上并没有把中小学截然分开。算术、代数、几何、统计等方面的知识，都是从小学到中学形成一个连续的整体。在小学较早地学习初步的代数、几何和概率统计等方面的内容。在中学也继续学习一些算术方面的内容，使中小学数学教育形成一个不可分割的整体。这种将中小学的数学教学内容作为一个整体来处理，统筹安排教学内容的作法是值得我们借鉴的。这样做可以解决中小学数学教学内容脱节的弊端。避免出现中小学数学教学内容互不联系，教学方法不同的现象。 （五）目标和内容都具有一定的弹性，可更好地发挥教育者的创造性。     在英国的《数学课程标准》中，对于教学目标和教学内容都不是硬性的统一的规定，而是具有一定的弹性，留有一定的余地。他们规定了数学学习的四个方面、八个水平的目标。而学生在什么时候达到哪一种水平的目标，是具有一定弹性的。规定"在每一个阶段结束时，学生达到哪一种水平的目标，教师要根据学生的实际情况作出判断。""第一阶段结束时，大多数学生达到1－3的水平；第二阶段结束时，大多数学生要达到2－5的水平；……。"从这里可以看出，对学生的具体要求是有很大的弹性的。第二阶段结束时，学生达到2－5的水平，也就是说，好的学生可以达到第五级水平，而最差的学生，可能只达到第二级水平。这种要求上的差别，可以使教师在教学过程中，根据学生的智力水平和学习的实际情况，对学生提出不同的要求。当然，在具体的实施过程中怎样处理，可能是一个比较复杂的问题。但象这样不要求所有的学生达到一个统一的数学教学要求的思路和作法，是值得我们参考的。 （六）对于教学方法只有一般性的建议，具体的操作性不强。     在英国的《数学课程标准》中，对于教学方法没有作专门的阐述。只是在每一部分内容叙述的开始，提出"应该给学生提供下面的机会"。这可以看作是对教学方法的建议。如，在第一阶段的"数学的使用和应用"部分中，提出"应该给学生提供这样的机会：a.在实际生活中和在解决数学本身的问题中，使用和应用数学知识；b.通过让学生解释自己的解题思路，发展学生的推理能力。"而我们的教学大纲对于教学方法的规定就比较具体。如在国家教委92年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲》中提出了"教学中应该注意的几个问题"，包括加强基础知识、重视发展智力培养能力、结合学科特点，对学生进行思想品德教育等七个方面。这对于数学教学有具体的指导意义。在这方面我国的教学大纲具有一定的优越性。     以上只是对英国《数学课程标准》（小学部分）的简单介绍和简要分析。希望能给我国的小学数学界的同行们提供一些参考。 参考资料     1、Department for Education and Welsh Office.(1995).Mathematics in the National Curriculum.London:HMSO.     2、高敬文博士.(1992).英国小学数学教育调查报告.未来教育的理想与崐实践.P373     3、中华人民共和国国家教育委员会《九年义务教育全日制小学数学教崐学大纲》。北京：人民教育出版社。