EVERYBODY COUNTS观点摘要 ----------关于数学教育的未来致国民的报告     数学揭示出隐蔽的模式以帮助我们了解周围的世界。当代的数学所处理的是科学中的数据、测量、观测资料；是推断、演绎、证明；是自然现象、人类行为、社会系统的数学模型。     实际上，数学是关于模式和秩序的科学。数学提供了有特色的思考方式，包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推断以及运用符号等，它们是普遍适用并且强有力的思考方式。应用这些数学思考的方式的经验构成了数学能力----在当今这个技术时代日益重要的一种智力，它使人们能够批判地阅读，以识别谬误，能探察偏见，能估计风险，能提出变通办法。数学能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界。     1.我们的看不见的文化     数学是我们这个时代的看不见的文化。尽管数学和统计思想常常隐蔽在公众的视野之外，但它却融合在我们的日常生活所处的技术环境之中。数学的观念在众多不同的层次上影响到我们的生活方式和工作方式。     实用的--在改善基本生活水平方面马上能用到的知识，这些知识和能力会直接带来实际利益。这种基本的应用数学是普及初等教育的目标之一。     公民的------能加强理解公众政策事务的概念，中学数学应有助于创造"有见识的公民"。专业的一一把数学作为工具来使用的必要的技巧和能力。      消遣的------乐于接受数学挑战和逻辑挑战的情趣，如谋略游戏（棋牌）、智力测验、彩票的盛行正好说明了隐藏在公众对数学漠不关心的表面现象下面的深刻的业余爱好和数学气质。      文化的------数学作为一种主要的智力活动的传统，作为一门因其优美不亚于其威力的学科而受到赏识，如同语言、宗教和音乐一样。数学是人类文化的一个影响全局的深刻而强有力的部分。      2.从抽象到应用     20世纪的上半世纪，数学的发展主要是由抽象和演绎的威力激发的。今天，在数学学科的每一个分支，应用都是平行于理论发展着的，即使是数学中最深奥最抽象的部分，现在在应用中都是要常规地用到的。数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学。     3.计算机     数学既为自然现象提供了抽象的模型，也提供了用计算机语言来实现这些模型的算法。应用、计算机和数学组成了一个紧密配合的系统，从而产生了以前从不可想象的概念。     计算机模型已使数学科学延伸到了科学和工程实践的每一个角落。     课程一一发展学生的数学能力数学的涵义比计算要广，所以数学教育的内容比掌握算术要多得多。图形、机会、变化等概念在使数学产生巨大的威力方面与数的概念同等重要。但更重要的是能体现出数学的内在统一性的这样一种综合的、灵活的观点：估计与计算相互补充；启发性思考与算法相辅相成；经验与创新精神相克相长。为使学生能在21世纪运用数学作好准备，今天的课程必须考虑数学的各个分支。各个层次的数学课程应当更多地介绍数学科学的广度与力量。     1.宗旨     想法好而表达较差，可以改进表达；如果没有想法，表达再好也没有用。数学课程必须突出数学思想，只强调计算与规则的数学课程，正如只强调语法与拼写的写作课程，都是一种本末倒置。     数学是人类思维的一种自然模式。不动脑子的模仿性的数学在真正的课程中是没有地位的。建立在成功基础之上的自信是数学课程最重要的目标。     每个人在今后生活中--无论是作为职工、父母、公民一一处理遇到的数学问题的能力，依赖于他在中学和大学课程中所获得的对待数学的态度。重要的是，数学课程决不能给人们留下种种误解、担心、害怕的后遗症。     2.初等教育     小学数学的主要目标应该是发展数的观念，把数的概念与几何、机会、计算结合起来讲述，有利于对正统算术的理解，对定量现象能从多侧面去思考和想象。     计算器的适当使用有利于提高儿童对算术的理解与掌握。合理地使用计算器是数概念的组成部分。应让儿童在整个学校功课中使用计算器，儿童应学会什么时候使用它们，什么时候不用他们它们。他们必须在与计算器打交道的经验中学会什么时候该他算，什么时候该寻求确切答案；如何估算答案以判断计算器答数的合理性；当手头上没有笔与计算器时，会用心算去解决简单的问题了     许多成年人担心过早地使用计算器，将妨碍儿童真正地学好基本的计算。而经验表明，这种担心是多余的，相反，使用计算器学习传统算术的学生比使用计算器的学生，表现出有较强的解题技巧和对数学有更好的认识。     3.中等教育     中学数学课程的中心仍然是从具体数学到概念化数学的转变。当学生的理解力从数推进到变量，从描述推进到证明，从具体问题推进到一般方程时，他们开始学习到数学符号的威力。从很现实的意义上来说，中学数学的主要目标是发展符号的意识。     所有学生离开中学时都需要在数学上有良好的基础，使他们在今后能够聪明地生活。所有高中生都应该学习有广泛用处的数学内容中最核心的部分。新的数学课程应有广泛的应用性，对学生具有更大的吸引力。不应按学生的学科目标来开设课程，中学数学应向所有学生提供数学主流中的核心部分，对不同类型学生的区别，不是在课程目标上，而只是在速度、深度和方法上。 数学--引导学习     教师介绍数学时常常地把它当成一成不变的教条，老师怎么教学生就怎么学，学生不是理智地、创造性地进行思考。事实上小学阶段的算术已经为这种学习模式起了带头羊的作用，它播下的祸种从小学到大学一直影响着学生的学习态度。     1.理解数学     开始，许多学生对数学教学只停留在形式上的掌握，没有进入实质的理解；有些学生则在达到较高境界之后再来回顾时才达到实质的理解。当前的教育实践对学生学习数学来说，就像行进在一条长长的、仅在末端设有暗淡灯光的地道中。要唤起对未来数学的理解，单靠这地道末端的亮光是不够的，还需要在地道内部设置为数很多的灯光。     2.学习数学     实在说来，没有一个人能教数学，好的教师不是在教数学而是能激发学生自己去学数学。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正学好数学。学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体验的方法来学习数学。     3.引导学生     同学们用自己的思考方式来探讨数学问题时，一般来说其方法与标准教科书上典型例题的方法很少有相似之处。正如儿童需要从错误中学习一样，学生学习数学也需要有不断摸索的过程，我们应当为他们提供这样的学习环境，允许他们有反复的余地。从长远说来，真正重要的事情不是记住一些数学技巧--技巧不常用，很快就会忘记--而是树立一种信心，即当他需要某一数学工具时，知道如何去发现并掌握这一工具。树立这种自信心的唯一办法就是在学习过程中贯穿创造、构造、发现数学的那种学习精神。 数学教师必须引导学生自觉地学习。教师应扮演包括顾问、辩论会主席和对话人等在内的角色，而不是讲授者的权威。长远说来，少教才有多学，这样当学生开始负责他们自己的工作时，他们将知道该学什么和如何学。     由于考什么就教什么，考试应该考查最重要的内容。所以极为重要的是应把评估工作恰当地与考试目的和课程目标联系起来。评估学生的数学能力，应结合多种方法：论文、家庭作业、智力小品、提问、小测验、上黑板演算、阅读杂志、口头交谈、小组活动等。只有建立在广泛基础上的评估，才能公正合理地反映出学生对数学课程中重要的、高深部分的掌握情况。     变革------投身于课程改革不断的变革是数学教育自然的、本质的特征。数学教育改革必须包括数学的教与学两个方面的重大变革。转变1：学校数学的中心由二元的任务--为多数学生的最低限度的数学，为少数学生的高级的数学--向单一的任务转变，即选取为所有的学生所需要的数学中重要的核心部分。做到这一点关键在于处理好以下几件事：     ●学校在每年都应审定适合所有学生的数学内容，它应是数学内容的核心。      ●对人口中值得注意的那部分人（学生）进行良好的教育。      ●激发有才能的学生对数学的兴趣。      ●是按课程目标，而是采用不同方法和速度实行因材施教。      ●教学中广泛地选取有趣的课题和有效的方法。      转变2：数学教学由"传授知识"的权威模式向以"激励学习"为特色的学生实践为主的教学转变。无论中小学还是大学，教室应成为生动活泼的学习场所，如：     ●激励学生进行探索；      ●帮助学生表达他们的数学想法；      ●向学生介绍许多数学问题有着不只一种的正确解法；      ●例子说明数学是充满活力和生气的；      ●通过学生亲自体验，说明仔细论证和严密思考的重要性；      ●使所有学生树立能学好数学的信心。      转变3：公众对数学正由冷淡、蔑视的态度向着承认数学在当今社会中起着重要作用这一态度转变。当前的事态正在传送给人们不同的信息：     ●一个国家越发展，它对数学的需要也越多；      ●科学与技术的作用越大，数学的重要性也就越大；      ●要成为一个有见识的公民，数学的基本能力与文学的读写能力同等重要。      ●转变4：数学教学由灌输常见技能的这种偏见向发展广泛的基本的数学能力转变。     今天的学生必须具备：     ●能熟练地完成心算与估计；      ●决定什么情况下需寻求精确的答案，什么情况下只需估计就够了；      ●能从具体的前后联系中，确定该问题采用什么数学方法最合适；      ●能正确地、自信地、适当地运用计算器；      ●能估计大小的数量级，断定心算或计算机算结果的合理性；      ●能用各种各样的表、图、打印结果和统计方法来组织、解释、并提供数值信息；      ●能判断别人提供的数量结果的正确性；     ●能把模糊不清的问题用明晰的语言表达出来；      ●会选择有效的解题策略。      转变5：数学教学由强调作为后继课的工具向更加强调它是关系学生现在和将来需要的课题转变。许多数学课程应当结合它的应用讲清来龙去脉。它们是：     ●概率学----它有助于对不确定性和风险的评估进行论证；      ●试验数据分析和统计学----它有助于对数据进行推理；      ●建模学----它有助于系统地、构造性地理解复杂的情况；      ●运筹学----它有助于复杂任务的规划和确定实现目标的步骤；      ●离散数学----它有助于理解计算机的许多应用。      从这些课题看出，观察与实验在未来的数学大纲中占有重要的地位，学校数学更应加强与其它课程，特别是自然科学的联系。     转变6：数学教学由主要强调用纸和笔计算向充分使用计算器与计算机转变。     转变7：公众对数学的认识由把数学看成某些规则组成的不变的体系向富有生气的、活跃的科学模式转变。这就要求在课程内容和教学方法上作相应的改变，把努力的焦点放在：     ●寻求问题的解法，而不仅是记住过程；      ●探索模式，而不仅是学习公式；      ●形成猜测，而不仅是做练习。           当教学开始突出上述观点时，将有助于学生树立正确的观念：数学是一门有待于探索的、动态的、进化的思维训练，而不是僵化的、绝对的、封闭的规则体系；数学是一种科学而不是一堆原则，数学是关于模式的科学而不仅仅是关于数的科学。