二十世纪中期课程改革运动中的“新数学”     二次世界大战后到六十年代是本世纪美国课程改革的第二次高峰期。由于二次大战中原子弹的爆炸和1957年苏联第一颗人造地球卫星上天的冲击，公众第一次目睹了科学和理论的研究成果如此巨大地影响到日常生活；过去几十年中对工业、发明和技术的信奉一下子转到了科学、理论和智慧的尊崇，大学的专家与教授们的地位陡然提高，学术研究被认为是对民族复兴和对国家军备竞赛至关重要的东西。     在这种背景下，1951年由卡内基基金会赞助，在贝伯曼(MaxBeberman)领导下形成了伊利诺斯大学学校数学委员会(UICSM)。该委员会分析了中学数学课程并得出结论，说它们“很少包括1700年以后数学发展的概念，而且几乎没有集中在专家们认为重要的数学概念上”（同上页注[5]），这一结论引起很大反响。这是有史以来第一次以大学数学家和科学家为基础的力量对中小学课程改革产生的无可非议的影响。随着数学在工业、物理、生物和社会科学中应用的扩大，公众更认识到必须重视大学前的数学教育功能，在五十年代中后期出现了众多的数学课程改革尝试。其中最突出的是，得到联邦政府支持和国家科学基金会资助，以耶鲁大学为领导，由一批数学家、数学教师、教育学家、心理学家及政界、实业界人士组成的学校数学研究小组(SMSG)。该小组认为必须重新认识小学数学对中学成功的重要性，有史以来第一次掀起了从小学到中学的数学课程改革，这就是在SMSG领导下的著名的新数学改革。     新数学改革的哲学基础是认知心理学家布鲁纳提出的两个著名假设：(1)懂得一门学科意味着懂得它的结构；(2)任何一门学科能以某种智力上诚实的方式教给任何年龄发展阶段的儿童。这两个著名假设也是六十年代占主流的学科结构课程改革的理论基础。新数学在这一思想指导下追求的目标，是想实现从技巧练习、实践和生硬的事实记忆性数学教育，到强调意义和概念的数学教育的转变，教给学生数学学科中的潜在理论。在小学阶段，努力使学生理解他们在做什么和为什么这样做，明白不同数目的基础及其它们是如何发挥作用的，理解算术中的观念原理和过程之间的联系系统，培养对模式、法则、概念、方法与技术之间关系理解的敏感性。比如，在小学低年级，理解数学的概念结构就体现为掌握加法和乘法交换律等[8]。这样做是便于让学生摆脱乘法表的死记硬背，反复的算术练习和实践及其它基本的数学操作，适当引入了一些新的数学概念，如集合理论中的初步概念，也适当地呈现一些代数初步[9]。在中学，主要是想用现代数学的思想和语言，来表达传统课程中的内容。比如，在代数中，象“未知数”、“方程”、“解”这些古老的术语，被“变量”、“开（语）句”、“解集”等术语所取代。运算含义也不是传统教材用具体数学的运算来说明，而是用抽象的数学语言给出定义，并用统一的基本代数结构来取代传统上用来解决繁杂的代数问题时用到的分门别类的技巧及机械过程等[10]。在几何中，对统治中学两千年的欧几里得几何为基础的传统几何学提出了挑战，尤其是对那种传统上遗留下来的、为了大学预科的目的而训练逻辑推理能力的极端抽象与困难的几何练习，提出了强烈反对，甚至宣判这种几何的死亡；指出传统几何课中几乎没有表现出欧几里得第一次综合后的2000年来发展的重要几何观念和事实，要求中学几何课适当地纳入很容易被中学掌握的新内容，如非欧几里得几何，仿射几何学、拓扑学、图论、代数几何及向量空间论，而不要投出大量精力用来对付大量困难而抽象的传统几何训练题目。     很显然，这场改革是试图通过加强小学、中学数学的基本理论和概念方面来消除传统上一直没有解决好的纯粹学术性数学和商业化应用算术之间的对立，即不是象本世纪最初30年那样只以应用性取代学术性，也不是象传统那样只强调数学的逻辑论证价值和心智训练价值，而是力图在中小学课程中初步纳入现代数学领域基本的新概念新理论，加强了学术性理论抽象程度。但是，这种被认为对保持美国在科学技术上处于领先地位很有必要的新数学在实施中却失败了。主要原因是，其一，新数学极端抽象，偏重理论、定义，充满新的术语和演绎推理形式，往往淹没了真正的数学思想，它试图通过学习“学科的缩影”，把无限的知识纳入到有限的课程中，通过“质来解决量”的问题，采取浓缩极抽象的基本理论和基本概念的办法。结果大多数学生理解困难，没有解决课程对儿童的心理适切性问题。因而，有人尖锐提出在课程中或许更重要的是平衡而不是学科结构，完善的数学和完善的数学教育学不是同一回事[11]。其二，新数学主要是由大学专家教授们参与研制的，没有得到第一线广大教师的配合，教师没有足够的知识和心理准备，不能很好地向学生表达那些抽象的概念。其三，新数学主要是为大学预科而设，偏重理论抽象而忽视算术技巧训练，在实施中学生既难以达到所希望的概念理解水平，又没有学到在传统体系下掌握的算术技巧。有人抱怨，儿童学会了3+5=5+3，但不知3+5等于多少。这样，在教师与家长的心目中，长期形成的在数学作为一种商业取向的算术活动和数学作为一种纯粹学术性学科之间的对立不仅没有消除，反而达到了白热化程度。以致于到七十年代中期，由家长等社会力量发起了“返回基础”运动，要求返回到家长们童年时曾经历过的注重事实记录和计算技巧的数学课程上去。其四，新数学没有研制出配套适合的评估材料，当时流行的标准化测验并不适合对新数学课程的成绩评估，卷面成绩持续下跌，批评越来越多，因而代表着擅长于理论数学的新数学不久就在公立学校消失了