设对称矩阵，存在分解式

因 对称矩阵，即 得

由分解的唯一性得

于是可得对称矩阵 的 分解式

因此完成三角分解 ，只需计算出 的元素，然后由 ，求出 的元素。

由紧凑格式计算公式得

（4.21 ）

                     （4.22 ）

               （4.23 ）

公式（4.21 ）（4.22 ）（4.23 ）为改进平方根法的计算公式。

例 6 用改进平方根法求解线性方程组。

解：由公式（4.21 ）得

由公式（4.22 ）得

由公式（4.23 ）得

所以， 。

练习 4.3

1．用紧凑格式解方程组：

2. 用改进平方根法解方程组：

练习题答案