已知 阶方程组

                             （ 5.28 ）

的系数行列式不等于零，，存在惟一解 ，并且对角元 均不为零。

将方程组（ 5.28 ）化为等价方程组

                    （ 5.29 ）

首先任意取定初始向量 ，将 代入式（ 5.29 ）的第 1 方程的右端，求得

接着用 代替 ，将 ，代入式（ 5.29 ）的第 2 方程的右端，求得

再用 代替 ，将 ，代入式（ 5.29 ）的第 3 方程的右端，求得

一般地，当已求得 后，则用 分别代替 ，再将

，代入式（ 5.29 ）的第 个方程的右端，求得

这样我们用逐个代入完成了第一步迭代，求得了向量 作为 的第一个近似向量，重复此过程，一般地，当求出了 的第 个近似向量 后，计算 的公式为

    （ 5.30 ）

简单记为

式 （ 5.30 ）称为 高斯-塞德尔迭代法公式 。

例 5 用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组

解 由式（ 5.30 ）得高斯 - 塞德尔迭代法迭代公式为

选取初始值 ，利用上式求得

即 ，利用迭代公式求得

即 ，再利用迭代公式求得

它已经是方程组准确解向量 。

相关链接：高斯—塞德尔迭代法计算框图

相关算法：高斯—塞德尔迭代法