1. 高斯 - 塞德尔迭代法 公式的矩阵形式

    首先将高斯 - 塞德尔迭代法的公式表示为矩阵形式，为此设

    这里 是系数矩阵 A 的对角部分， 是严格下三角部分， 是严格上三角部分，，则高斯 - 塞德尔迭代法的公式（ 5.30 ）可表示为

                      （ 5.31 ）

用矩阵 乘等式两边得

再用矩阵 乘等式两边得

                （ 5.32 ）

其中矩阵 称为 高斯 - 塞德尔迭代矩阵。

   由此可见，高斯 - 塞德尔迭代法是一般迭代法中迭代矩阵为 的特殊情形。需要指出的是，由于矩阵 难于计算，所以式（ 5.32 ）多用在理论分析中。

2 ． 高斯 - 塞德尔迭代的收敛性

定理 5.10 若系数矩阵 A 为严格对角占优矩阵，则高斯 - 塞德尔迭代法收敛。

且误差估计式为

                                （ 5.33 ）

其中

*证明 由于A为严格对角占优矩阵，则

于是得

由高斯 - 塞德尔迭代法公式

和

两式相减得

设

则有

所以

再由

可得

定理 5.11 若系数矩阵 A 为对称正定矩阵，则高斯 - 塞德尔迭代法收敛。

证明从略。

例 5 用雅可比迭代法解线性方程组

准确到 。

解 因为 A 为严格对角占优矩阵，由定理 5.10 知高斯 - 塞德尔迭代法收敛。

取初始值 ，使用高斯 - 塞德尔迭代公式

具体结果如表 5-2 所示

表5-2

所以

相关链接：高斯—塞德尔迭代法计算框图

相关算法：高斯—塞德尔迭代法

练习 5.3

1. 已知方程组

（ 1 ）写出解此方程组的高斯——塞德尔迭代公式。

（ 2 ）证明当 时，高斯——塞德尔法收敛 .

2. 用高斯——塞德尔法解方程组

练习题答案