4-2-1群的定义

一个集合G含有A、B、C、…元素，在这些元素之间定义一种运算(通常称为“乘法”)。若满足如下四个条件，则称集合G为群：

1）封闭性: 若A、B为G中任意两个元素，且AB=C，A² =D，则C、D仍为G中元素。

2）缔合性：G中各元素之间的运算满足结合律：

(AB)C=A(BC)

3）有单位元素E，使任一元素A满足：AE = EA = A

4）G中任意一元素A均有其逆元素A^-1，A^-1亦属于G中。

A A^-1 = A^-1A=E

群中元素的数目称为群的阶，用符号h表示。

例1,整数集合：{…-3, -2, -1, 0, 1, 2 ,3…}对“代数加法”构成一个群,为一无限群。

例2,CH₂Cl₂分子的对称操作的集合{E，C₂，σ_v，σ_v´}对“对称操作的乘积”构成一个群。

封闭性：EC₂ = C₂, Eσ_v = σ_v， Eσ_v´ = σ_v´,

C₂σ_v = σ_v´， C₂σ_v´ = σ_v, σ_vσ_v´ = C₂

缔合性：(C₂σ_v)σ_v´ = σ_v´σ_v´ = E

C₂(σ_vσ_v´) = C₂C₂ = E

单位元素：E

逆元素：C₂C₂= E, σ_vσ_v = E, σ_v´σ_v´ = E；

C₂^-1 = C₂, σ_v^-1 = σ_v, σ_v´^-1 = σ_v´

逆元素为自身。