4-5-7群表示间的关系小结

1、群表示间的关系

群表示Γ_a的矩阵群为{A₁，A₂，A₃, …}，Γ_b的矩阵群为{B₁，B₂，B₃, …}其中，A_i、B_i分别为Γ_a与Γ_b中对应于第i个操作的矩阵。

1）等价：若对每一个操作R均能找到矩阵X，使B(R) = X^-1A(R)X，则表示Γ_a与Γ_b是等价的，记为Γ_a = Γ_b。

2）约化：若能找到矩阵X，使表示Γ的任一矩阵C(R)，可通过相似变换X^-1C(R)X = C´(R) 变为对角方阵C´(R)。

C´(R)中每一组对应的小方阵构成一个群的低维表示Γ_i，则称表示Γ是可约化的。

记为：

3）直积：若ψ_a和ψ_b分别为Γ_a及Γ_b表示的基，则以（ψ_aψ_b）为基的表示Γ_ab称为Γ_a与Γ_b的直积。记为

Γ_ab=Γ_a×Γ_b

2、群表示的特征标间的关系

若将上述关系中群表示符号Γ换为群表示中与某一对称操作对应的矩阵的特征标，则与上述群表示间关系相对应的特征标间的代数运算依然成立。

1）等价： Γ_a = Γ_b → χ_a(R) = χ_b(R)

因为A(R)与B(R)为共轭矩阵，因此特征标应相等。

2）约化：

这是显然的，因为与Γ_i对应的矩阵在C´(R)里是沿对角线排列的，因此

又因为C(R)与C´(R) 共轭，因此χ(R) =χ´(R)。

3) 直积：Γ_ab = Γ_a×Γ_b → χ_ab(R) = χ_a(R)×χ_b(R)