当前位置：学习内容 - 第六章 刚体力学

§6.8 高速陀螺的近似理论及其应用

1．近似理论

从上一节讨论拉格日朗陀螺的运动情况中，我们发现要求出q和j的精确解是复杂的，但如果陀螺的初始自转角速度很大，则可用近似方法求出陀螺的运动解，这就是高速陀螺的近似理论。

对(6.7.11)式，在陀螺的自转角速度比进动角速度大很多时，它可简化为，从而 (6.8.1)

这就是对陀螺的初等讨论中进动角速度的大小。它意味道着这一项很接近系统的总能量，以致使矢量L差不多和陀螺的对称轴重合。

由于(6.7.11)式是的二次方程，解此方程可得到两个稳定进动值，这两个值称为快进动和慢进动。

对于高速自转陀螺，假设t=0时，陀螺的初始条件为q=q₁、、。再假设陀螺绕z的转动动能远大于运动过程中可能发生的势能的最大变化，即

(6.8.2)

根据初始条件，结果有 (6.8.3)

依(6.7.7)式，在任何时刻 (6.8.4)

另外，由于q=q₁时必须等于零，因此有

对运动中的任意时刻，由式(6.7.10)可知

(6.8.5)

由条件(6.8.3)式可知，上式方括号中的第一项是sin²q和一个比小得多的因子mgl相乘，因此sin²q可近似取其初始值sin²q₁。将(6.8.5)改写成

(6.8.6)

令

及

将上式对时间t求导，再将(6.8.6)式代入，得

此式可直接积分得到

这个方程告诉我们两个结论：第一，章动角频率为，因此初始自转越快，章动频率就越大。第二，x值的范围由给出，a随自转的增大而迅速减小。这一结论是不难理解的，例如小孩玩的陀螺，开始时自转角速度很大，对称轴近乎直立，q₁很小，所以几乎看不到章动现象，时间一长，由于自转角速度变慢，陀螺上下摆动明显增加，章动量就增大。

再分析(6.8.4)式。由该式可以看出：

(6.8.7)

所以，进动是不均匀的，但是有一个和间动频率相同的周期性变化，如果我们计算在一个圆周上的时间平均值，就求得

(6.8.8)

从而进动随着自转的加快变得越来越不明显。

从已经获得的其轴与竖直方向的夹角为q₁且由静止开始运动的陀螺的图象，可以得出如下结论：(a)释放以后其质心即在重力作用下下降；(b)由此产生的q的变化给陀螺一个进动速度，它与质心的竖直落差x成正比；(c)这两种效应结合起来产生一个章动速度；(d)陀螺的初速度自转越大，章动频度越大，章动角的范围越小。

若总能量就是V_eff(q)的极小值，则角q保持为定值q₀，即章动角不变，q₁=q₂=q₀，这时将产生一个稳定的进动，即规则进动，陀螺的对称轴在球面上描出圆形轨迹。此时的进动角速度可由式(6.7.7)得到：

(6.7.13)

由上式可以看出，在q随时间振动的一般情况下，也随时间振动。

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