当前位置：学习内容 -第七章 正则方程

在任一瞬时，系统的状态可用2s维相空间中的一个点表示，这个点叫做相点。当s=1时，相空间就是一个二维的相平面`(图7.2.1)。当s≥2时，相空间就画不出来了，只能想像。质点系的运动方程在相空间中对应一条相轨迹，它每时每 刻都反映着系统的位形与广义动量，而哈密顿正则方程(7.2.10)给出了相点的运动速度。在振动理论和统计力学中，相空间是很有用的表示方法。

用正则方程解决力学问题时，首先求出拉格朗日函数(L=T―V)，再按(7.1.5)求出与q_j对应的广义动量P_j，然后根据定义式(7.2.4)把拉格朗日函数L(q_j、、t)变成哈密顿函数H(q_j、p_j、t)；最后按式(7.2.10)求出哈密顿正则方程。

3．循环积分与能量积分

容易看出，L函数的循环坐标必然也是H函数的循环坐标，因此体系存在着和此循环坐标相对应的广义动量守恒。这点从H方程(7.2.10)反映得特别明显。尤其是当体系具有某种对称性时，可以从H函数直接求出这个守恒量，例如，当体系对某一给定轴对称，适当选取某个坐标q_j=q，由于体系对q对称，因而是H函数的循环坐标，必然有，即q_j对应的广义动量一角动量守恒。

从广义概念来说，物理量的守恒性(或不变性)来源于体系的对称性。在经典力学中物理量的守恒性给问题的分析带来很大的方便，在量子力学系统中的对称性更是受到人们的关注，在现代场论与基本粒子等许多领域中都大量研究和应用对称性。例如在《Symmetry in physics》(J. P. Elliott and P. G. Dawber. Vol. 1, 1979)书中，用群论的方法研究物理学中的各种对称性，从而得出相应的守恒定律和预言某种基本粒子的存在。

在一定条件下，哈密顿正则方程也跟拉格朗日方程一样，可以给出能量积分。哈密顿函数H(q_j、p_j、t)对t求导，得

(7.2.12)

在运动过程中，正则方程(7.2.10)成立，代入上式，则得

(7.2.13)

如H函数中不显含t，则因，故

因此正则方程有一积分 H = h (7.2.14)

此处h是一积分常数。这就是说，广义能量H守恒。如变换式r_i不明含t(例如稳定约束)，即动能T是广义速度的齐次二次函数，则有

所以

这个式子表明，在稳定约束时H就等于力学体系的总能量。如果体系所受的约束是不稳定约束，即动能T不是广义速度的齐次二次函数，则(7.2.14)式代表广义能量积分，这与在第二章中所讨论过的情形相同，即h=T₂―T₀+V。因此哈密顿函数H也是力学体系的特性函数。

归纳起来，正则方程的两类首次积分可表达为

(1) 如H中不显含某个广义坐标q_j，则相应的广义动量p_j守恒。

(2) 如H中不显含时间t，则广义能量H守恒。如体系的变换式r_i不显含时间t(例如所受的约束仍为稳定约束)，则H就是体系总机械能E。

例1 讨论质量为m的质点在有心力场中的运动。

[解] 质点在有心力场中的运动是在一平面中的运动。取两个极坐标r、q为广义坐标，则动能和势能为

，

拉格朗日函数为

广义动量为

解得 ，

可求得哈密顿函数H为

根据(7.2.10)式可以得到正则方程

，

和

因为H中不显含q，所以有广义动量积分p_q=L(常量)，这就是角动量守恒。又因为H不显含t，且约束稳定，所以有能量积分，即

质点的径向运动方程是

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