当前位置：学习内容 -第七章 正则方程

§7.2 哈密顿正则方程

1．勒让德变换

拉格朗日方程是二阶常微分方程组。拉格朗日函数L是q_j、和t的函数。如果把L中的广义速度换成广义动量p_j就可使方程组降价。而把描述体系的独立变量(q_j，，t)变为(q_j，p_j，t)的过程是由勒让德变换实现的。

设对一给定系统有一函数F=F(x_j，u_j)，现在想用另一组变量y_j和u_j描述这一系统，我们引入新变量 ① (7.2.1)

（① 新变量存在的条件是对这种变换的赫斯(Hesse)行列式不为零，即）和以y_j、u_j为变量的新函数 (7.2.2)

显然容易求得这两组变量的关系。对(7.2.2)微分并利用(7.2.1)式得

将该式与比较，立刻得到

， (7.2.3)

式(7.2.1)和(7.2.3)给出了新旧变量之间的关系。新变量是旧函数对旧变量的偏微商，而旧变量是新函数对新变量的偏微商。这就是大家所熟知的勒让德变换。

在这种变换中，变量u_j没有变换。对u_j而言，新、旧函数对它们的偏微商互为负值。

2．正则方程

为了把拉格朗日函数中的变量(q_j，，t)变为(q_j，p_j，t)，按照勒让德变换，引入一个在物理学中非常重要的量一哈密顿函数H。这个函数的变量是q_j、p_j、和t，它的物理意义是代表广义能量，在稳定约束情况下它就是总机械能。H可定义如下：

(7.2.4)

其中p_j就是我们在第二章中定义过的广义动量

(7.2.5)

由(7.2.4)式可得 (7.2.6)

因为L是q_j、、t的函数，所以根据多元函数求微分的法则，我们有

考虑到式(7.2.5)，利用拉格朗日方程可能得到

因此 (7.2.7)

把(7.2.7)代入(7.2.6)式，得

(7.2.8)

又因为H是q_j、p_j、t的函数，根据多元函数求导法则，可得

(7.2.9)

比较(7.2.8)和(7.2.9)两式，最后得到

(7.2.10)

和 (7.2.11)

方程(7.2.10)叫做哈密顿正则方程。我们通常把q_j，p_j (j=1，2，…，s)称为正则变量。方程(7.2.10)是哈密顿力学的基本方程，它是以正则变量(q_j、p_j)为独立变量、有2s个方程的一阶常微分方程组，它等价于以(q_j、)为变量，有s个方程的二阶常分方程组，即拉格朗日方程组。对比这两组方程，容易发现方程(7.2.10)有时显的优越性：在函数

和变量含义及二者之间的关系上反映得特别简单、鲜明、扼要；在方程的形式上是对称的，因此称为正则方程。

上一页下一页