当前位置：学习内容 -第七章 正则方程

§7.3 泊松括号

1．泊松括号

泊松括号与体系的运动积分相联系，用它求体系的运动积分很有效，同时泊松括号又是正则变换不变量的判别式，正则方程可用泊松括号表示；另外，泊松括号在量子力学中也有重要的应用。

当用正则变量为独立变量描述一个力学体系时，任何一个力学量f(如动量、能量等)均可表示为p、q、t的函数，即f=f(p、q、t)，这个力学量的时间变化率为

(7.3.1)

由于体系在运动中正则方程成立，所以可利用正则方程将上式中的用代替，用代替，于是(7.3.1)式可写为

(7.3.2)

若定义任意两个函数f=f、(q，p，t)和g(q，p，t)的偏导数所构成的表达式

(7.3.3)

为泊松括号，则(7.3.2)式可写成

(7.3.4)

(7.3.4)式称为运动方程，它给出了任意力学量f随时间的变化与哈密顿函数H的关系。如果f不随时间变化，即力学量f是运动积分，，则有

(7.3.5)

特别是当f不显含时间t时，有 [f， H]=0 (7.3.6)

对于正则变量q_j(j=1，2，3，…，s)，由方程(7.3.4)得

(7.3.7)

对正则变量p_j(j=1，2，3，…，s)同样可以得到

(7.3.8)

这两个式子就是用泊松括号表示的正则方程。在这种表示中，正则变量q和p是完全对称的。(7.3.7)和(7.3.8)式说明正则变量对时间的变化率决定于它们体系的哈密顿函数H所组成的泊松括号。

方程(7.3.5)和(7.3.6)为我们提供了判断一个力学量f是否为运动积分的方便方法，它们可作为判断守恒量的条件。这就是说，当f(q_j，p_j)不显含时间，且它和体系的哈密顿函数H组成的泊松括号为零时，则它必是体系的一个运动积分。

2．泊松括号的性质

泊松括号具有以下性质：

(1)[f，g]=-[g，f] [7.3.9]

(2)若c为常量，则[f，c]=0 [7.3.10]

(3)[f₁+f₂，g]=[f₁，g]+[f₂，g] [7.3.11]

(4)[f₁f₂，g]=f₁[f₂，g]+[f₁，g]f₂ [7.3.12]

(5) [7.3.13]

(6)泊松恒等式(也称为雅可比恒等式)

[7.3.14]

(7) [7.3.15]

(8)基本泊松括号

[7.3.16]

[7.3.17]

式中d_jk是克朗内克(Kronecker)符号。当泊松括号等于零时，称f和g是可以易的；当泊松括号等于1时，称f和g是正则共扼的。

除性质(7.3.14)外，其他的各条性质均易证明。对性质(7.3.14)，可按定义式(7.3.3)把它们逐项展开，共24项，然后整理即可得到最后结果。当然也可用其他方法，如利用线性微分算符证明。

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