当前位置：学习内容 -第七章  正则方程

(3)  取pj，Qj，t为独立变量

则有                                  (7.4.9)

(4)  取pj，Pj，t为独立变量

则有                                  (7.4.10)

以上讨论是显含时间的正则变换，即母函数F显含t，此时新、旧哈密顿函数不相等，相差母函数对时间的偏微商一项。当母函数不显含时间t的情况下，就有。在这种情况下，只需把H中的旧变量q、p变成新变量Q、P就得到。

正则变换的广泛性，在很大程度上使广义坐标和广义动量的概念失去原有的意义。因为正则变换(7.4.2)式中已使Pj，Qj里的每一个量既同坐标qj相联系，又同动量pj相联系，那么变量Qj就完全没有位置坐标的含义了。正则变换既然是两组2s个变量(qj，pj，Qj，Pj)间的变换，其中的新“坐标”常为旧“动量”，而新“动量”却为旧“坐标”，因此就难以判断哪个“动量”，哪个是“坐标”，所以在哈密顿方法中的变量p和q常称为正则共轭变量。

例1  在均匀重力场中自由下落的质点，其质量为m，取铅直坐标为q，相应的动量为p，用正则变换求运动方程。g为重力加速度。

[解]  选第一种形式的母函数

为了得到变换，可由式(7.4.6)得         

或                      

另外                  

其逆变换为                                           (1)

再利用(7.4.6)式，并注意到F1不显含t，所以

可见在新变量中，P为循环坐标，于是得新变量下的正则方程为

，    

由此我们立刻得到                                    (2)

这就是本题对新变量的解。把(2)式代入(1)式，便得到本题对旧变量的一般解。若将q写成惯用符号y，即得

为确定起见，试取初始条件为：当t=0时，y=0，，于是上式便成为

的形式。

由上述过程可以看出，求解问题4关键是选取适当的母函数。但一般说来，母函数的选取并无一定规律，只能视具体情况而定。

对本问题我们也可选取第二种母函数

由此得到的变换为

                 (7.4.10)

其余解题步骤同前。

还可选取第三种母函数。

相应的变换为             

即便是对第一种形式母函数，我们也可取另外的形式

而所得的结论是相同的。

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