当前位置：学习内容 -第七章 正则方程

*§7.5 哈密顿—雅可比方程

上一节我们讨论了用正则变换的方法求解正则方程，并指出正则变换的关键在于寻找母函数。但是，母函数的适当选择往往是困难的。这一节我们介绍求解正则方程的另一种方法，即由哈密顿提出，经雅可比推广后的偏微分方程的方法，它可概括为雅可比定理，也是积分运动方程的一个普遍方法。

1．哈密顿—雅可比方程

如果我们通过一个特殊的正则变换，它把力学系统的所有正则变量都变为常数，这对于求解正则方程大有帮助。此时只要变换后的哈密顿函数恒等于零，就可以做到这点。因为在这种情况下，哈密顿正则方程为

，

则 P_j = 常数， Q_j = 常数

由正则变换理论知道，在四种情况的正则变换中，新、旧哈密顿函数间的关系均为

若，则上式可表示为 (7.5.1)

如取第二种形式的母函数F₂(q_j，P_j，t)，由第二种形式的变换公式知

把上式代入(7.5.1)，便得到

通常以主函数S代替母函数F₂，因此上式成为

(7.5.2)

这是关于S的一阶非线性偏微分方程(因为H是p_j的二次式)，叫做哈密顿—雅可比方程(简称H-J方程)。

我们知道，任何一阶偏微分方程都具有依赖于一个任意函数的解，这个解称为原方程的普遍积分。但同时也具有只包含任意常数的解，而且任意常数的个数恰等于独立变量的个数，这个解称为全积分。现在我们需要的是后者，即全积分的形式。

由于在H-J方程中包含s+1个独立变量，即s个独立变量和时间t，因此，H-J方程的全积分应当包含s+1个常数。但是由于未知函数S=S(q_j，P_j，t)不包含在方程中，而只包含它的偏微商，所以完全积分的s+1个任意常数中，有一个常数A以相加的形式出现在全积分中。如果S是方程的解，则

S = S + A (7.5.3)

也是方程的解。(7.5.3)式中的常数A在力学中不起作用，可以略去。我们把含有s个任意独立常数a_j(j = 1，2，…，s)的哈密顿—雅可比方程的解

S = S(q_j，a_j，t) (7.5.4)

称为H-J方程的全积分。

在方程(7.5.2)中S应当是q_j，P_j，t的函数，但是(7.5.2)并不规定S对P_j的依赖性(仅规定了S对q_j的依赖性，且)，因而P_j可以任意取，只要它们是常数就可以。因此，我们取了s个积分常数a_j，代替了P_j，即

S = S(q_j，a_j，t)

2．雅可比定理

雅可比定理提供了哈密顿正则方程组解的可能性。设H-J方程的全积分已经求出：

S = S(q_j，a_j，t)

则正则方程的全部解答将由下述2s个代数方程决定。即

， (j = 1,2,…,s) (7.5.5)

其中b_j是s个任意常数。这就是所谓的雅可比定理。

可见，如果先从方程(7.5.5)式中的第二组方程解出q_i，再代入第一组方程，那么这些解就明显地表为如下一般的形式：

q_j = q_j(a_i,b_i,t) = q_j (a₁,…a_s,b₁,…,b_s,t)

p_j = p_j(a_i,b_i,t) = p_j (a₁,…a_s,b₁,…,b_s,t) (7.5.6)

这就是说，只要知道了H-J方程的完全积分，就避免了对常微分方程组(即正则方程组)进行积分，这样哈密顿正则方程的积分问题就被与它等价的求H-J偏微分方程的完全积分问题代替了。

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