当前位置：学习内容 -第七章 正则方程

这一过程可作如下理解：设进行由一组变量q_j到新变量a_j(=P_j)的正则变换，其母函数为

F₂(q_j，P_j，t)=S

依第二种母函数的变换公式 ，

，

选用a_j为新动量，b_j为新坐标，则上述变换公式为

， ，

既然母函数F₂=S满足H-J方程，因此变换后的哈密顿函数恒等于零，即

所以新变量a_j、b_j对应的正则方程为

，

故得 a_j = 常数， b_j = 常数 = (7.5.7)

因此通过这s个代数方程的积分，我们便可得到以t和2s个任意常数a_j、b_j为变量的坐标函数q_j，即

q_j = q_j (a_j、b_j，t)

这样就确定了体系的轨道。进而利用求出体系沿相空间轨道的动量，因此我们便求得运动方程的普遍积分。

利用雅可比定理，如全积分S已被求得，则哈密顿正则方程的积分便可求出。因为S已知，则、就会知道，即可得到

p_j = p_j (q_j，a_j，t)

b_j = b_j (q_j，a_j，t)

再联立解出q_j和p_j为t的函数

q_j = q_j (a_j，b_j，t)

p_j = p_j (a_j，b_j，t)

即为哈密顿正则方程的积分，其中2s个积分常数a_j、b_j由2s个初始条件q_j0和p_j0决定。

3．H中不显含t时的H-J方程

如果力学系统的H函数不显含t，则前面所讲的H-J方法可以简化。

设在稳定约束下保守系的哈密顿函数H中不显含t，在这种情况下，可以把H-J方程(7.5.2)中的空间变量q₁，q₂，…，q_s与时间变量t分离。令

S(q_j，P_j，t)=W(q_j，P_j) + f(t) (7.5.8)

代入H-J方程中，有 (7.5.9)

上式左边不显含t，而右边只是t的函数，显然只有等于同一个常数时方程才成立，把这个常数用E表示。(7.5.9)式可分解为两个方程

(7.5.10)

(7.5.11)

(7.5.10)式给出 (7.5.12)

方程(7.5.11)是关于W(q_j，P_j)的一阶非线性偏微分方程，它的解W称为哈密顿特性函数。方程(7.5.11)的全积分应取如下形式：

W = W(q₁，…，q_s，E，a₂，…，a_s)+a₀ (7.6.13)

其中a₀为一相加常数。略去a₀，把(7.5.12)和(7.5.13)式代入(7.5.8)式中，就得到哈密顿主函数S，即

S = -Et + W(q₁，…，q_s，E，a₂，…，a_s)

在求解时，并不一定用(7.5.4)式的哈密顿主函数S作正则变换的母函数，而完全可以用哈密顿特性函数W(q_j，P_j)作母函数，其中积分常数E，a₂，…，a_s作为变换后的“动量”，则变换后的哈密顿函数

这样，变换后的所有“坐标”Q_j都是循环坐标，使求解大为简化。

假定已经求得方程的全积分为

W = W(q₁，…，q_s，E，a₂，…，a_s)

根据雅可比定理立刻得到正则方程的积分为

(7.5.14)

(7.5.15)

(7.6.16)

式中t₀为初始时间。(7.5.14)式称为中间积分，用以确定体系的动量。(7.5.15)是(s-1)个积分，称为几何积分，它是s维相空间中的一条曲线。(7.5.16)式称为运动积分，它表征着体系沿轨道的运动规律。

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