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小 结

I哈密顿原理

1.变分运算的几个法则

变分符号用d表示,它和微分运算有许多类似之处。

对于等时变分(dt=0)而言,dd的顺序可对易,即d(dr)=d(dr)d的顺序也可对易,即

2.哈密顿原理(保守系适用)

其中称为主函数。哈密顿原理是用变分法求极值的办法。从一些约束许可的轨道中挑选出真实轨道,进而求出运动规律,即对真实轨道而言,主函数S具有极值。

II哈密顿正则方程

1.哈密顿函数H(qjpjt)

2.正则方程

    (j = 1,2,,s)

3.如为保守系,且约束是稳定的,则

H = T + V E

4.循环积分与能量积分

循环积分:H中不显含某个pjqj,则对应的qjpj为常数。

能量积分:H中不显含t,则H=E(稳定约束)H=h(不稳定约束)

III泊松括号

1.泊松括号

(1) 定义   

(2) 运动积分的判别式

2.泊松括号的性质

(1) [fg]=-[gf]

(2) c为常量,则[fc]=0

(3) [f1 + f2g]=[f1g] + [f2g]

(4) [f1f2g]=f1[f2g]+[f1g]f2

(5)

(6) 泊松恒等式

[f,  [g,  h]]+[g,  [h,  f]]+[h,  [f,  g]] = 0

(7)

(8) 基本泊松括号

3.泊松定理

f(qjpjt)=c1g(qjpjt)=c2是正则方程的两个运动积分,则

[f g] = c3

也是正则方程的运动积分。

IV正则变换

1.目的:希望通过变量变换,能得出更多的循环坐标,从而使问题简化。

2.条件:,当变量由qp变为QP时,H变为,如能使上式成立,即dF(qjQjt)为一恰当微分,这时正则方程的形式不变,这种变换叫做正则变换,式中为用新变量QPt表示的哈密顿函数,而F叫作母函数。

3.几种形式的正则变换

母函数类型

变换方程

F1的关系

F1(qjQjt)

 

F2(qjPjt)

F2=F1+

F3(pjQjt)

F3=F1-

F4(pjPjt)

F4=F1+

V哈密顿—雅可比方程

1.哈密顿—雅可比方程(H-J方程)

2.如R=S(qjajt)+c是从上述H-J方程中求出的运动积分,则由

可求出正则方程的全部积分。

3.如为稳定约束,且H中不显含t,则S=-Et+V(q1q2,…,qsEa2,…,as)+c,而H-J方程为

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