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位置：第二章第一节  

一、数学的研究对象

数学的发展已经过几千年的历程。人们在学数学、用数学和研究数学的过程中，也许每

个人对数学都有自己的理解,然而要准确地回答数学是什么、数学研究什么并得到公认,似乎还没有人真正做到这一点。

人们对数学的认识是随着时代的发展而发展的。古希腊的亚里士多德把数量区分为离散的量和连续的量两种。并说“数是一种离散的数量”,“线是一种连续的数量”。在作了这种区分之后,他指出:研究数及其属性(例如奇偶性、对称性以及比例关系等)的学问叫做算术,研究量及其属性(例如对称、相交、平行等)的学科叫做几何学。因为这两门学科的对象具有某些共同的性质,所以归结为一门学科:数学。因此,数学是研究数量的科学。这是一个天才的定义,一直到19世纪末仍被多数哲学家、数学家所接受。

数学史表明,在19世纪以前,古典数学的主要成就是算术、几何学、代数学、微积分。这些数学学科所研究的都是客观事物的空间形式和数量关系。对此,恩格斯曾经概括为:“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。”他还说,数学是“一种研究思想事物(虽然它们是现实的摹写)的抽象科学。”把数学的研究对象看作一种思想的事物，抓住了数学的性质和特点。数学的对象已是经过人的思维加工的思想实体，一种人对自然界的概括认识，然而它们具有客观性。恩格斯的这些论述既划清了数学同自然科学的界限,坚持了唯物主义的观点,又优于亚里士多德的定义,因而受到数学家普遍的赞成,至今仍被经常采用。

19世纪以来，数学的基本部分——分析学、几何、代数均发生了质的变化，它的研究对象已经越出了对数量关系和空间形式最初意义的理解。数学不仅要研究考察现实世界时所产生的概念，而且要研究“思维对象”，比如，在无限维空间中的球和螺线；数学在逻辑上研究可能的纯粹形式和关系。在这种情况下，数学的对象到底是什么，再度引起人们的思考。例如，布尔巴基学派就认为“数学是研究抽象结构的科学。”他们用结构的观点看待数学，认为最普遍、最基本的数学结构有代数结构、顺序结构、拓扑结构,这是三个母结构,此外还有许多各式各样的子结构,由母结构和某些子结构一起,形成某个数学分支的结构；苏联著名数学家亚历山大洛夫在《数学——它的内容、方法和意义》一书中指出：“数学以纯粹形态的关系和形式作为自己的对象。”；我国数学家丁石孙认为“数学的研究对象是客观世界的和逻辑可能的数学关系和结构关系。”还有不少数学家认为，只要扩充对有关数量关系和空间形式的理解,恩格斯的数学对象观仍然适用于现代数学。看来这些观点从各个不同的侧面，对数学的对象作了较好的概括，在本质上是不矛盾的。

二、数学的特点

谈到数学的特点,哲学家、数学家多有表述,一般仍引用《数学——它的内容、方法和意义》中的提法，把数学的特点归结为:高度的抽象性；严谨的逻辑性；应用的广泛性。