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 位置：第二章第一节 

1、高度的抽象性

数学与自然科学相比较,具有更高抽象的程度。任何科学都具有抽象性,“数学以及其他科学都是把物体现象生活的一个方面抽象化”。物理学只保留物理属性而舍弃其他；数学的抽象,则只保留量的关系而舍弃一切质的特点,只保留一定的形式、关系、结构,这种形式、关系和结构已是一种形式化的思想材料，或者是一种抽象结构。例如，世界上本来并没有“二次方程”，它是人们从现实世界数量关系中抽象出来的思想材料。没有抽象，就不会有自然数、方程式和函数，也就没有数学的研究对象。

数学的抽象是逐步发展的，它的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从直接概括现实对象属性的抽象，到拓扑空间、一般代数系统、算法等等高水平的抽象都是从简单到复杂、具体到抽象这样不断深化的过程，也就是说，数学的抽象不仅表现在广度上，而且表现在不同层次的深度上。正因为数学的高度抽象性,使数学具有广容性,这是数学所独有的。我们常发现一个数学模型,可以用于形形色色的具体现实领域。所以我们可以这样说:数学的抽象,正是数学的威力。

2．严谨的逻辑性

数学要求逻辑上无懈可击、结论要精确,一般称之为数学具有严谨的逻辑性。虽然在探索数学真理的过程中合情推理起着重要作用,然而从确认真理的方式上看,数学中使用逻辑的方法,至少基本情形是如此。数学的结论是否正确，一般不能象物理等学科那样，借助于可重复的实验来检验，而主要靠严格的逻辑推理来证明；而且一旦由推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。数学的高度抽象性质预先规定了数学只能用从概念本身出发的推理来证明,数学的概念原则上是逻辑地可以自足的。一个数学概念,没有逻辑上自足的刻画,就不能进一步进行研究。在数学定理的证明中,据以证明的前提,在逻辑上是清楚的,至少原则上如此；定理证明的步骤在逻辑上是完全的,是严格无误的。正是数学概念的这种确定性以及逻辑本身的普遍意义,使数学的结论具有逻辑的必然性,也就是结论的精确性。从而数学常被称为“神机妙算”,使数学具有高度的预见性。

当然，逻辑的严谨性不是绝对的。例如，微积分刚建立时，逻辑上是很不严密的，然而其结论是正确的，获得了惊人的有效应用；直到后来，经过数学家很长时间的努力，才给微积分建立了比较严谨的理论基础。类似微积分这样的事例在数学中还有很多，但这种逻辑上的不严密只能是暂时的，随着人们认识能力的提高而逐步加强。

3．广泛的应用性

数学的高度抽象性和逻辑的严谨性带来了数学应用的广泛性。正如华罗庚教授所说:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。”数学在日常生活中、在生产技术中的应用已毋庸置疑，科学技术的发展也离不开数学。1994年，王梓坤院士为中国科学院数学物理部作了题为《今日数学及其应用》的报告，对于60年代之后数学的应用作了重要补充，并列举了数学在现代科学技术中被广泛应用的有趣故事。例如，在90年代初的海湾战争中，数学计算在战争决策中起了重要的作用。事实证明，有些重要问题的解决,数学方法是惟一的,也就是说,除数学外,用任何其他方法、仪器、手段都会一筹莫展。一切科学研究在原则上都可以用数学方法来解决有关问题,随着数学的发展,可应用数学的领域会更加宽广。按照马克思的思想,一门科学只有当它达到了能够运用数学时,才算真正发展了。

数学的研究对象和特点已经使我们看到,数学是一切科学研究的工具,再像17世纪那样把数学归类为自然科学已经显然不适宜了。尽管数学在科学分类中的地位如何尚在探讨之中,但数学不是自然科学的认识却是明确的。我们至少可以这样说:数学是内容具体、形式抽象、理论严谨、应用广泛、方法精巧、地位特殊的一门基础科学。并且，当今数学科学的发展出现了下列新的趋势：

（1）数学内部各分支间的相互渗透以及数学与其他科学的交叉融会。连续与离散、有限与无限、纯粹与应用、结构与算法、随机与确定等等，相互之间均有着千丝万缕的联系。从数学应用的传统领域——物理学到生物学、经济学等等这些新兴的数学应用的大“客户”，数学几乎成了自然科学、技术科学、社会科学与管理科学的共同智力资源。

（2）计算机这一新颖工具的出现及其发展改变了人们对数学的看法，数学成了形式科学与实验科学两种不同知识类型的结合，在思维形式与研究方法各方面都需在差异中寻求平衡。计算机的发展为数学开辟了新的研究领域，不仅使古老的数学领域获得复苏，也开辟了关于算法理论以及可行性等更为新颖有趣的数学问题的源泉。计算机的发展为数学研究提供了新工具，形成了数学活动的新形式。

（3）数学的应用领域日趋广泛。与计算机及其他科学密切相关的数学不是象牙塔里的严密体系，也不是纯而又纯的抽象理念，人类活动的各个领域将无处不有数学的贡献。