位置：第四章第二节
第五，数学认知结构不是一种消极的组织，而是一种积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着作用。形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接受到新的数学信息。人们就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。
第六，数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的、不断发展和完善的动态组织。随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐地变得更加精确和完善。正是因为数学认知结构具有这样的特点，所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展。
第七，从功能上来说，学生既能借助已有认知结构去掌握现有的知识(例如，平行四边形概念的学习，实质上是平行概念和一般四边形概念的结合，学生就是在这一认知结构基础上学会平行四边形概念的)；又能借助于原有认知结构创造性地去解决问题。
数学认知结构是数学学习过程的一个中心的心理成份。
二、数学学习的四个阶段
根据学习的认知理论，我们认为数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。依据学生认知结构的变化，我们认为数学学习过程可以分为四个阶段：输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。数学学习的一般认知过程可图示如下：
从上图看出数学学习过程包括四个阶段：输入阶段，新旧知识相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。
1．输入阶段
学习起源于新的学习情境。输入阶段实际上就是给学生提供新的学习内容，创造学习情境。在这一学习情境中，学生原有的数学认知结构和新学习内容间发生冲突，使得它们在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键。为了引起学习，首先学习者必须具有学习热情(也就是奥苏伯尔所说的学习心向)。对于没有学习意向的人，无论外界怎么强制也是学习不起来的。因此，在输入阶段，教师所提供的新学习内容应当适合学生的能力、兴趣，激发其内部学习动机。
2．相互作用阶段
产生学习的需要之后，学生原有的数学认知结构和新的学习内容就发生作用，数学学习便进入相互作用阶段。学生原有数学认知结构和新的学习内容的相互作用有两种最基本的形式：同化和顺应。用瑞士心理学家皮亚杰的话说，“刺激输入的过滤或改变叫同化；内部图式的改变，以适应现实，叫做顺应”。
同化是数学认知的方式之一。当新的数学内容输入后，学生并不是消极地接受这一刺激，而是利用自己已有的数学认知结构对新内容进行改造，使新内容同化到原有的数学认知结构中。实际上，同化是把新内容纳入原有数学认知结构，从而扩大原有认知结构的过程。例如，初中一年级学生学习负有理数，就是把负有理数同化到正有理数结构中去的过程。学生在小学学过正有理数，已经形成了正有理数的认知结构，因此，当负有理数概念输入时，学生就在他们的头脑中筛选出可以纳入负有理数的数学认知结构——正有理数认知结构。根据这个认知结构，学生对负有理数进行改造，即建立负有理数和正有理数之间的联系：在数轴上，负有理数是零点左边的数，负有理数的性质和正有理相反，负有理数的加、减运算可用正有理数来定义，等等。这样负有理数就同化到正有理数认知结构中，原有的正有理数认知结构就被扩充成有理数认知结构。
学生学习的数学内容是多种多样的，有时学生头脑中的认知结构不一定能与新学习内容相吻合，换句话说，可能新学习的内容是全新的一类。这时就不能使新内容同化到原有的一些认知结构中去，而要改造原有的认知结构，以使新内容能适应这种认知结构，这就是顺应。例如，初一学生学习代数，可以说是通过顺应来学习的。尽管他们在小学学过算术，但是算术和代数的不一致性，学生就不能简单地依靠同化方式在原有算术认知结构的基础上学习代数，而要改造算术认知结构，通过字母代表数的学习，逐渐顺应代数学习。
因此，如果说同化是改造新学习内容使之与原有认知结构相吻合的话，那么，顺应则是改造学生的认知结构以适应新学习内容的需要。
同化和顺应是认知过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。例如上面所说的负有理数学习。其实，原有的正有理数认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习；同样学习代数的例子也存在着同化的过程。
新旧知识相互作用阶段的关键是学生头脑中是否有相应的知识与新知识发生作用，学生不但必须具有与新内容相适应的知识，而且必须能顺利地提取出来。教师的作用就在于查明学生头脑中是否具有相应的知识，并通过恰当的手段促进原有知识和新知识的相互作用。
3．操作阶段
操作阶段实质上是在第二阶段产生的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，从而初步形成新的数学认知结构的过程。通过这一阶段的学习，学生学到了一定的技能，使新学习的知识与原有认知结构之间产生较为密切的联系。
4．输出阶段
这一阶段基于第三阶段，通过解决数学问题，使初步形成的新的数学认知结构臻于完善，最终形成新的良好的数学认知结构，学习的能力得到发展，从而达到数学学习的预期目标。
从上面关于四个阶段的分析中，可以看出：
无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有的数学认知结构。因此，在任何条件下，已有的数学认知结构总是学习新数学内容的基础，即使是学习最简单的数字“2”，在对数量为一的各类事物从数量关系方面概括时，也是以已有的关于数字“1”的认知结构作为依据的。这说明教师在教学时首先要考虑学生知道了什么?掌握到什么程度?然后再考虑教学内容的难易程度，呈现序列等问题，确保学生原有认知结构和新数学知识相互作用的顺利进行。
