下载

位置：第四章第四节

一、数学概念的学习

1、数学概念学习的内容

数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性,是人们通过实践,从数学所研究的对象的许多属性中,抽出其本质属性概括而成的。概念的形成,标志人的认识已从感性认识上升为理性认识。

数学概念是进行数学推理、判断的依据,是建立数学定理、法则、公式的基础,也是形成数学思想方法的出发点。因此数学概念学习是数学学习的基础,数学概念教学是数学教学的一个重要的组成部分。

数学概念学习的实质就是概括出数学中一类事物的共同本质属性,正确区分同类事物的本质属性与非本质属性,概念的肯定例证和否定例证。

一般来说,数学概念学习包括以下四个方面:

第一,数学概念名称。例如，“三角形”、“正方体”和“圆”等。

第二,数学概念定义。例如，“三角形”的定义是“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。”

第三,数学概念的例子。符合数学概念定义的事物是数学概念的正例,不符合数学概念定义的事物是数学概念的反例。例如，直角三角形是“三角形”的正例,而四边形则是“三角形”的反例。

第四,数学概念属性。例如，“三角形”这个数学概念的属性是平面图形、有三条边、有三个角等。

2、数学概念学习的形式

数学概念学习的形式一般有两种：

（1）数学概念形成

数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正,最后通过概括得到定义并用符号表达出来。数学概念形成的过程有以下几个阶段：

①观察实例。观察概念的各种不同的正面实例，可以是日常生活中的经验或事物,也可以是教师提供的典型事物。例如，要形成平行线的概念,可以观察黑板相对的两条边,立在路边的两根电线杆,横格练习本中的两条横线等。

②分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。例如上面的各个实例分别有各自的展性，通过比较可以得出它们的共同属性是:两条直线、在同一个平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交、两条直线可以向两边无限延伸等。

③抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。例如，提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交。

④确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设，确认本质属性。例如举出平行直线、相交直线和异面直线的例子确认平行线的本质属性。

⑤概括定义。在验证假设的基础上,从具体实例中抽象出本质属性，推广到一切同类事物，概括出概念的定义。例如可以概括出“在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。”

⑥符号表示。用习惯的形式符号表示概念。例如平行线用符号“∥”表示。

⑦具体运用。通过举出概念的实例,在一类事物中辨认出概念,或运用概念解答数学问题,使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系,把所学的概念纳入到相应的概念体系中。

（2）数学概念同化

概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的一种概念学习形式。指的是新信息与原有的认知结构中的有关概念相互发生作用，实现新旧知识的意义的同化，从而使原有认知结构发生某些变化。数学概念同化的学习过程一般是直接揭示数学概念的本质属性,通过对数学概念的分类和比较，建立与原有认知结构中的有关数学概念的联系,明确新的数学概念的内涵和外延，再通过实例的辨认,将新数学概念与原有认知结构中的某些数学概念相区别,将新的数学概念纳入到相应的数学概念系统中,从而完善原有的认知结构。数学概念同化的学习过程有以下几个阶段:

①揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。例如，学习二次函数的概念,先学习它的定义:“如果,是常数那么,y叫做x的二次函数。”

②讨论特例。对概念进行特殊的分类,讨论各种特例，突出概念的本质属性。例如二次函数的特例是等。

③新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。例如把二次函数和一次函数、函数等联系起来,把它纳入到函数概念的体系中。