位置：第四章第四节
（2）波利亚的解题四步骤
在论及关于“问题解决”的研究时，无疑应当首先提及美国著名的数学家、数学教育家乔治·波利亚。他作为数学家，他在众多的数学分支，如函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算和应用数学等领域多有建树，留下了许多以他的名字命名的术语和定理。1963年，美国数学会曾授予他最高职业奖。作为一个数学教育家，他曾以数十年的时间悉心研究数学启发法和数学教学，从而为数学方法的现代研究奠定了必要的理论基础。他的教育思想的宗旨是:“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”，根据社会需要把学生培养成合格的人才。他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”、“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，应该能使学生主动学习，他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出：数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”。
波利亚对数学问题解决的宏观思考过程进行了分析，认为数学解题应分为四个步骤：①理解问题、②拟订计划、③实现计划、④回顾与检验。
我们试按波利亚的解题四步骤来认识下题的解题过程：
例如，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P为△ABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。
分析：第一步 理解题意
本题的条件是（ⅰ）c=10，（ⅱ）cosA/cosB=b/a=4/3；（ⅲ）P是三角形△ABC内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A、B、C三顶点的距离的平方和的最值。直角△ABC的三个顶点
为A（8，0）、B（0，6）、C（0、0）
在直角△ABC中，有a+b=c+2r ，r=2，
所以，内切圆的圆心为Oˊ（2，2），
方程为（x-2）²+（y-2）²=4。
设圆上的任一点为P（x，y），则有
S=|PA|²+|PB|²+|PC|²
=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y²
=3{（x-2）²+（y-2）²}-4x+76
=3·4-4x+76=88-4x
因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当X=4时，有最小值72，当x=4时，有最大值88。
第四步 回顾讨论
对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：
x=0时，P点运动到BC边上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72。
此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法（略）
本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验例如：
（1）如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂程度明显上升。这说明，对于同样的素材（题设条件），选用不同的加工方法（解题方法），其繁简程度是有显著区别的。
（2）从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生。
（3）使我们看到：注意数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题的实质。
