设实函数在区间[a,b]上单调连续，有数学分析知道，如果满足，则方程在区间[a,b]内有唯一实根。

    区间二分法基本思想是：将方程根所在区间[a,b] 平分为两个小区间 ,再判断那一个区间是有根区间，即属于哪个区间；把有根区间平分为二，再判断所在的更小的区间等等；重复上述步骤，直到求出满足精度要求的近似根，如图8-1所示。

图8.1

不失一般性，假设取

则必有下列三种情况之一成立：

（1）若，则；

（2）若 ，则 ；

（3） 若，则；

无论那种情况，都将会得到

重复这一过程，假定已知,并取

则必有下列三种情况之一成立：

（1）若，则；

（2）若 ，则 ；

（3） 若，则；

无论那种情况，都将会得到

若再取

                              （8.1）

作为所求根的近似值，式（8.1）为区间二分法的计算公式，其误差估计式为

                     （8.2）

综上所述，若在区间 [a,b]上不变号，且，则由式（8.2）知

且收敛于零的速度，相当于以为公比的等比数列收敛于零的速度。

例1  用区间二分法求方程的最小正根。（准确到）

解：因为所以再由公式（8.2）求出

准确到时，n的最小值， 令

解得，用区间二分法公式（8.1），具体计算结果列表如下：

表8－1

n
1	0	0. 5	0.25	-
2	0.25	0.5	0.375	+
3	0.25	0.375	0.3125	-
4	0.3125	0.375	0.34375	+
5	0.3125	0.34375	0.328125	-
6	0.328125	0.34375	0.3359375	+
7	0.328125	0.3359375	0.33203125

    最后，我们指出区间二分法的优点是计算程序简单，只要在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。

相关算法：求非线性方程实根的对分法

练习8.1

1.举例说明区间二分法不能求偶重根.

2．用区间二分法求方程的最小正根，准确到.

练习题答案