定理8.4（压缩映像原理）

设方程在区间[a,b]上满足条件：

⑴ x∈[a,b]，则；

⑵连续，且。　                                   (8.12)

则由一般迭代法迭代公式得到的近似根序列收敛于方程f(x)=0

在区间[a,b]的唯一根。当时，具有线性敛速，并有误差估计式

                                    (8.13)

证明 首先证方程（8.10），区间[a,b]内有惟一根，由条件（1）知

再由条件（2）知连续，方程（8.10）在区间[a,b]内有惟一根，设方程（8.10）在区间[a,b]内有另有一根，则由

                                         （8.14）

及中值定理得

其中位于之间。

于是得

与条件矛盾，所以，

由式（8.11）和式（8.14）得
                           （8.15）

其中位于之间。故有

，

再由式（8.15）得

故当时，一般迭代法具有一阶敛速。

最后推导误差估计式

由式（8.15）得

所以

一般迭代法的几何意义如图8-4所示，

图8-4

为求和的交点的横坐标，首先过上点

作平行于轴的直线，与相交于点；
再过点作平行于轴的直线，与相交于点；
再过点作平行于轴的直线，与相交于点，
再过点作平行于轴的直线，与相交于点，……，
从而求得的近似值，上图（a）又表明，当，则序列收敛到根；上图图（b）又表明，当，则序列发散。

例7 用一般迭代法求方程的正实根，准确到。

解 因为，所以。

在上，

将方程同解变形为，在上，所以一般迭代法收敛。

选取初值，用用一般迭代法公式

具体计算结果如表8-7所示

表8-7

所以

练习8.4

1. 在下列一般迭代公式中，对任意初值，产生序列收敛于根有哪些，其理由是什么？

 （1）；

         （2）；

（3）；

2. 用一般迭代法求方程

的最小正根，准确到.

练习题答案