设函数在区间[a,b]上连续，方程在区间[a,b]存在根，初值， 将方程在区间[a,b]上同解变形为

                                                             （8.10）

如果在[a,b]上连续，将初值代入式（8.10）右端，计算得
                                    

将作为方程的根的第一近似值。

再将代入式（8.10）右端，计算得

将作为方程的根的第二近似值。

一般地，如果已计算出的第n个近似值，再将代入式（8.10）右端，计算得

                                               （8.11）

将作为方程的根的第n+1个近似值。

   上述求方程近似根方法称为一般迭代法，式(8.11)为一般迭代法的迭代公式，为一般迭代法的迭代函数。

    可以看出，建立一般迭代法的迭代公式的关键是方程在区间[a,b]上的同解变形，在一般情况下，方程在区间[a,b]上会有多种形如式（8.10）的同解变形，因而也会有多种一般迭代法的迭代公式。下面看一个计算实例。

例6 试用几种不同的一般迭代法的迭代公式求方程

的正实根。

解 因为所以

将方程

在区间[0 ，0.5]上同解变形

（1），相应迭代公式为

（2），相应迭代公式为

（3），相应迭代公式为

（4），取，相应迭代公式为

取初值，使用上面四种迭代公式具体计算如表：

表8-6

    这个计算结果表明，迭代公式（1），（2），（4）产生的序列收敛，而迭代公式（3）产生的序列不收敛。

那么，迭代函数满足怎样的条件时，由迭代公式（8.11）产生的序列才收敛？

下面来讨论这一问题。