单点弦法在计算过程中只有一个点变动，而另一个点不动，双点弦则是在计算过程中，两个点都变动的更一般情形，见图8-3

图8-3

1．双点弦法的迭代公式

设函数在区间[a,b]上单调连续，，且满足，则方程在区间[a,b]内存在惟一实根。

双点弦法的具体做法是，在区间[a,b]上任意选取互异两点，过曲线上点(),
()作弦，其方程为

此弦与x轴交点的横坐标为

将作为方程的根的第二近似值。

若，则；否则再过点()， (),作弦，此弦与x轴交点的横坐标为

将作为方程的根的第三近似值。

一般地，如果已求得的近似值，则过点()， ()作弦, 此弦与x轴交点的横坐标为

                      (8.8)

将作为方程的根的第n+1个近似值。式(8.8)为双点弦法的迭代公式。

2．双点弦法的收敛性

定理8.3. 设在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件

⑴ ；

⑵在[a,b]上不等于零
(3)，其中

则以a,b为初始值， 由双点弦法的迭代公式（8.8）产生的近似根序列超线性收敛于

方程在区间[a,b]内的惟一根。

证明 由条件（1）（2）知方程在区间[a,b]内有唯一根。

因为

由线性插值余项得

其中位于的最大值与最小值之间。

再由微分中值定理得

其中位于之间，位于之间。

同理可得的误差关系式

             （8.9）

其中位于之间，位于的最大值与最小值之间。

式（8.9）表示的误差与的误差之积成正比。

若令

和

由条件（3）和式（8.9）得

于是有

即序列收敛)根。

设具有p阶敛速，则由敛速定义知

于是有

又由f(x)二阶导数连续和式（8.9）得
                                

所以有

此式表明

即序列具有敛速，也就是序列超线性收敛于方程在区间[a,b]内的惟一根。

例5  用双点弦法求方程的最小正根。准确到

解： 因为,所以,在区间[0,0.5]上，

选取，用双点弦法迭代公式

具体计算结果列表如下：

表8-5

因为

所以

练习8.3

1. 用单点弦法求方程

的最小正根，准确到.

2．用双点弦法求方程

的最小正根，准确到.

练习题答案