1．单点弦法的迭代公式

    设实函数在区间[a,b]上单调连续，，且满足，则方程在区间[a,b]内存在惟一实根。

单点弦法的基本做法是，在区间[a,b]上任意选取互异两点c 和，过曲线上点作弦，其方程为

此弦与x轴交点的横坐标为

将作为方程的根的第一近似值。

    若，则；否则再过点()， ()作弦，此弦与x轴交点的横坐标为

将作为方程的根的第二近似值。

    一般地，如果已求得的第n个近似值，则过点()， ()作弦,此弦与x轴交点的横坐标为

                              (8.7)

将作为方程的根的第n+1个近似值。式(8.7)为单点弦法的迭代公式。

2.单点弦法的收敛性

定理8.2. 设在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件

⑴ ；

⑵在[a,b]上不等于零

(3)在[a,b]上不变号

则选取c是a, b中满足.的一个，为另一个 则由单点弦法迭代公式（8.7）

得到的近似根序列单调线性收敛于方程在区间[a,b]内的唯一根。

证明 由条件（1）（2）知方程在区间[a,b]内有唯一根。

为了证明收敛于，先证明为单调有界序列。

不失一般性，不妨设由 ，可得

再证明。因单调上升，所以只需证明即可。为此构造函数

则有                

其中位于之间。为单调上升函数，

由知

即

由此证明了

一般地，由 可同样证明

由此得（8.7）产生的近似根序列单调上升，且有上界 ，

所以必有极限，设为。

对式（8.7）两边取极限得

由得

再由方程在区间[a,b]内有唯一根，得

即

下面证明单点弦法具有线性敛速，为此令

则由式（8.7）得

应用微分中值定理得

其中位于与之间。

其中位于与之间。

当时，单点弦法线性收敛。

例4  计算的单点弦法迭代公式，并用它计算，准确到。

的正根，由，代入单点弦法迭代公式(8.7)得

下面用它计算.

因为,在区间上，选取

用上面导出的单点弦法公式

具体计算如表8-4所示：

表8-4

因为

所以

1.732 050 5