为了讨论切线法的收敛性，我们首先引入迭代序列收敛阶的概念。

设迭代序列收敛于，如果存在实数与正常数c，使得

                                                (8.5)

则称序列是阶收敛于。特别地，当时，称序列为线性（一次）收敛；

当时，称序列为平方（二次）收敛；当时，称序列为超线性收敛；

由此定义可知，当收敛阶越大，则序列与的误差缩减越快，也就是序列收敛越快。当时，为线性收敛时，必须要求。

定理8.1. 设在[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件

⑴；

⑵在[a,b]上不等于零

(3)在[a,b]上不变号

则对任意初值，只要满足,则由切线法迭代公式得到的近似根序列

平方收敛于方在区间[a,b]的唯一根。

证明  由条件（1）（2）知方程在区间[a,b]内有唯一根。

为了证明收敛于，先证明为单调有界序列。

不失一般性，不妨设,

则                                

另一方面，由泰勒展开式的得

其中位于之间。

所以                                                                                                          

用除两边得

即                                                              

所以

一般地，由同样可证得

                              （8.6）

由此得为单调下降序列，且有下界，所以必有极限，设为。

对式（8.4）两边取极限得

由方程在区间[a,b]内有唯一根得

即

再由式（8.6）得

所以当时，切线法为平方收敛。

在实际计算时，首先确定只含所要求根的区间[a,b]，接着在区间[a,b]检验是否满足收敛条件（若不满足，则缩小区间），再按要求选取初值，使用迭代公式进行具体计算。当时，一般可采用估计式

求出满足精度要求的近似根

例3  用切线法求方程的最小正根。（准确到）

解： 因为所以,

在区间[0 ，0.5]上，取，使用

切线法迭代公式

具体计算结果列表如下：

表8-3

因为

所以

相关链接：切线法计算框图

相关算法：求非线性方程一个实根的牛顿法

练习8.2

1.用切线法求方程的最小正根，准确到.

2.证明计算的切线法迭代公式为

并用它求的近似值，准确到.

练习题答案

1． 2．提示：考虑函数