式中，
为线谐振子的第 
个本征波函数，
。
进而，证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半。
证明：利用
将厄米多项式的递推关系改写成
（1）
用 
乘（1）式两端，有
（2）
式中，归一化常数
（3）
因为
（4）
所以，
（5）
用
乘上式两端，得到