§7.6
粒子全同性原理
1．
全同粒子
一位古代哲学家说过：‘一个人不能两次踏入同一条河流。’对于经典物理学，这无疑是对的。但对于量子力学，这显然就不再是正确的。例如所有电子的电荷都是同一的，所有处于基态的氢原子的性质也都完全一样。实际上，自然界既有本质上的连续性，又有本质上的离散性；既有任意大小的差别，又有绝对的同一。一切相反的两极都如同一张纸的正面和反面必然地相互依存着。唯如此，才能形成这丰富多彩的世界。这就是对立统一规律的本质。
由于量子理论，粒子的内禀属性才能有本质上的差别。例如自旋，只是由于相对论量子力学，才能推导出粒子自旋是整数或半整数，并由此将粒子分类为玻色子和费米子，它们分别满足玻色统计和费米统计。类似的，宇称、质量、也可以由量子场论算出，就是粒子电荷及电荷的量子化，以后也将由理论推导出。可见，只是由于量子力学，粒子的内禀属性（如电荷、静质量、自旋、宇称等）才是分立的，由此粒子才能分成许多种类。量子力学定义内禀属性完全相同的粒子为全同粒子。按经典力学，粒子的自旋可取任意值，例如 
。因此按经典力学就不可能定义全同粒子。
2．
粒子全同性原理
两个经典例子即使被看作全同的，它们仍然是可分辨的。因为它们有不同的、可分辨的运动轨迹。与此不同，量子力学的粒子伴随有德布罗意波，当两个全同粒子的德布罗意波重叠时，这两个全同粒子就不再是可以分辨的了。另一方面，既然两个粒子是全同的，它们交换时就不可能引起体系的任何变化。这就是说，两个全同粒子交换后，体系的哈密顿不变，体系的状态不变。这就是粒子全同性原理，或说量子体系具有全同粒子交换对称性。将这一原理用数学表达出来就是
是粒子交换算符， 
表示粒子的全部自由度（坐标与自旋）。（7.6.1）表明，全同粒子体系哈密顿具有全同粒子交换不变性；（7.6.2）表明，全同粒子体系不仅要满足薛定锷方程，而且要满足交换算符的本征方程。
3．
全同粒子体系的波函数
显然
由此
实验表明，多个全同玻色子体系态函数是
的本征态；多个全同费米子体系态函数是 
的本征态。如果两个费米子（第 
和第 
个）处于同一个态，则有
（7.6.4）
另一方面，
由（7.6.4）－（7.6.5）得
（7.6.6）
这说明费米子体系一个态上不能有两个或两个以上费米子，这正是泡利原理。可见，由全同性原理可以推导出泡利原理。类似的推导可以证明，玻色子体系同一个态上可有任意多个粒子。由此爱因斯坦预言了低温玻色子凝聚效应。这一效应已完全被现代实验所证实。
由（7.6.1）可知，
因此，全同粒子体系交换算符本征值是守恒量。
个全同粒子体系有 
个交换算符，这些交换算符互不对易。例如， 
。不相互对易的算符可能有也可能没有共同本征态。
个全同粒子体系的 
个交换算符恰好有共同本征态，那就是 个全同粒子的全对称态函数和全反对称态函数。并且，可以证明， 个交换算符的本征值都是相同的，即，都是1或都是 
。 个全同玻色子体系应由全对称态函数描述， 个全同费米子体系应由全反对称态函数描述。
无相互作用的
个全同粒子体系的哈密顿是
（7.6.7）
的本征值和本征函数显然是
（7.6.8）
（7.6.9）
下脚标 
表示粒子所处的单粒子态，大括弧内是
个粒子自由度一切可能交换的线性组合。
是厄米算符，所以 
是完备本征函数系。因此， 个全同粒子有相互作用的哈密顿 
的本征函数 
可用 展开。如果 关于 
是对称或反对称的，则 也是关于 是对称或反对称的。可见，只要构造出对称或反对称的 即可。
个无相互作用的全同费米子体系的态函数
个无相互作用的全同费米子体系必然处于 个不同的单粒子态上。相应的全反对成态函数是
（7.6.10）
两个粒子交换相当于两行交换，两行交换时 
变号，因此满足全同费米子体系反对称的要求。