为什么教数学     1.毫无疑问，人们普遍都同意每个儿童在学校都应该学习数学；确实，大多数人认为学习数学，加上学习英语，是必不可少的。因此,可能会有人认为回答本章标题的问题是没有必要的。要正常地生活在二十世纪世界上的很多地区,不应用某种形式的数学是很困难的,也许是不可能的。这个事实本身可被认为提供了教数学的充足理由,在某种意义上这也无疑是正确的。然而,我们相信试图提供更详细的回答是有价值的。     2 数学只是学校课程所包括的很多学科之一,但是对儿童来说，在数学上取得成功比在其他学科（例如历史或地理）压力更大，即使人们普遍认可这些学科也应该成为学校课程的一部分。这说明数学在某种意义上被认为具有特殊的重要性。如果我们问一问为什么应该如此,常常给予的理由之一是数学是"有用的"；也很清楚的是,这种有用性在某些方面看来,与学校课程的很多其他学科的有用性不同。人们以不同的方式感受到数学的有用性。很多人根据在日常生活、办公室或在工作场所需要使用的算术技能认识数学的有用性;一些人把数学看成是科学发展和现代技术的基础；一些人则强调数学技术作为一种管理工具在商业和工业中日益增多的应用。     3 我们认为,所有这些对数学有用性的理解都来源于这样的事实,即数学提供了一种有力的、简洁的和准确无误的交流信息的手段。虽然认为数学有用的人中,很多未必用这样的措辞表达其理由,我们还是认为数学可用作交流信息的有力手段这是事实,正是它提供了对所有儿童要教数学的主要的理由。      4 数学可以用很多方式来表示信息,不仅是用数字和字母,而且也使用各种表格、图表、图形以及几何和技术制图。此外,数学中使用的数字和其他符号用系统的方式进行操作和结合,使得常有可能推断出与数学相关的情况的进一步信息。例如,如果我们得知一辆汽车以平均每小时20英里的速度行驶3小时,就能推断出汽车已走了60英里的路程。为求得该结果,我们用了式子:20×3=60.然而,这一数学表达式也可表示下列计算:一件物品价值3便士,求20件物品的价值;走廊长20米,宽3米,求所需铺设地毯的面积;还可表示其他很多事情。它说明了这样的事实,即同样的数学表达式可以来源于和表示很多不同的情况。这一点具有重要的意义。因为同样的数学命题能与不止一种情况相联系,因此,人们经常可看到,解决从某一情况中所产生的问题得到的结果被用于不同的情况。用这种方式数学不仅可用来解释已发生事情的结果，而且,也许更重要的是,可预测会发生事情的结果。这样的预测可能是简单的,例如预测一次旅程所需要的汽油总量、费用以及旅途所需要的时间;也可能是复杂的,例如预测火箭发射至太空所运行的轨道,或者一己设计好的桥梁承载力。事实上,正是数学预测的能力使得近几年来技术的进步成为可能。     5 教数学的第二个重要理由一定是它在其他很多领域的重要性和有用性。它对自然科学和各种工程学的学习是基本的。它在医学和生物学、地理和经济学、商业和管理学中的应用正日益增长。数学对于工业和商业的运作,无论是在办公室还是在工作场所都是不可缺少的。     6 常有人提出学习数学是为了发展逻辑思维、精确性和空间意识的能力。学习数学当然有益于培养这些能力,但其程度依赖于进行数学教学的方法。数学也不是唯一的对此有价值的学科;很多其他的活动和其他很多学科的学习也可以发展这些能力。因此,我们认为发展这些能力的需要本身并不构成为什么要学习数学而非其他东西的充足的理由。不过,教师应当注意到数学对培养这些能力能够作出的贡献。     7 数学内在的趣味性和它对许多儿童和成人所产生的吸引力提供了在学校要教数学的另一个理由。很多报刊杂志都设有各种各样的"问题园地"专栏,这一事实证明了比较初等的问题和谜题具有广泛的吸引力;解决这些问题的努力既是一种享受,同时在很多情况下,也能够加深对数学的理解。对某些人来说,数学的吸引力甚至更大,更强烈。例如:     我和安娜都曾体会数学不仅仅是解题。数学是通向魔术般的、神秘的、磨练心智的世界的人口。     在这个世界中,你得小心翼翼地行事,得制订你自己的规则,你必须对自己的行动完全负责。然而,它激 动人心,远非只是理解。     即使相对说来没有多少人达到像7岁的安娜和几年后写成该书的年轻人那样的理解力和好奇感。我们认为给任何人都有这样的机会是重要的。确实,我们希望能使所有数学学习者意识到"入口内的景象",里面有丰富多采的数学领域,并鼓励他们敢于入内探险。然而,我们也必须认识到对有些人,即使他们由于对某些特殊的活动产生兴趣可能会偶尔对里面的景象投上一瞥,也不会持久地被吸引住,对数学仍然不感兴趣,或者在某些情况下对数学怀有强烈的对立情绪。     8 除了本章我们已经提出的几点理由之外,还有其他教数学的理由。不过,我们认为已给出的几点足以构成对所有男女学生要教数学的充分理由,其中最重要的是数学可用作交流信息--表示、说明和预测的有力手段。     9 注意到数学在当代"旅行者"号太空计划中有两种很不相同的应用是有趣的。在1977年发射去探索外星空际前,不仅是数学的预测功能被用来计划这两架"旅行者"号航天飞机行程的详细情况,而且每架航天飞机所带有的关于地球生命的资料都含有数学的实例,数学成了"地球和外星王国的使者"下面的话说明包含数学实例的原因。      就我们能说的,数学关系对所有的行星、生物、文化、哲学都是有效的。我们可以想象一个在大气 层中含有六氟化铀的行星,或者一种几乎远离星际尘土的生命形式,纵然这是极不可能发生的事情。但是 我们不能想象一种有一加一不等于二或者在八和九之间还能插进一个整数的文明。因为这个原因,简单的 数学关系在不同生物种之间可能是比借助物理和天文方式更好的交流信息的手段。"旅行者"号记录的 早期部分图片资料在算术上是很丰富的,这些算术还为后来图片包含的简单的数学信息提供了一种字典,例如人的大小。     10 由于广泛地使用符号表示法,数学提供了简洁地和精确无误地进行信息交流的手段。然而,正是使用和解释这种符号表示并掌握以它为基础的抽象思想和概念的必要性对很多人成了一种障碍。确实,符号表示法既能使数学用作交流信息的手段,有助于使数学"有用",但也能使数学难以理解和应用。     11 学会使用数学作为一种交流信息的手段与学会使用一个人的母语是不同的。母语也提供了交流信息的一种手段,但它总在使用,对绝大多数人来说,它是"自然形成"的,虽然掌握语言也需要在课堂里发展和扩充。而且,语法或拼写的错误一般不会使所传递的信息难以理解。而另一方面,数学对大多数人来说则与母语不同,它不是"自然形成"的,并不经常使用;它必须要学习和实践;发生错误则事关重大。数学还以比通常用口头和书面语言精确和集中得多的方式传递信息。由于这些原因,很多人花长时间不仅用来熟悉数学技能和概念,而且也为了树立使用数学的信心。能比较轻松地树立这种自信心的人不应低估其他很多人可能会遇到的困难,也不应低估为能理解和使用数学所需要的帮助的程度。      对教师的意义      12 作为本章的最后,我们想提请学校数学教师注意我们认为上述讨论的教数学的理由所具有的意义。按照我们的观点,数.学教师具有下列任务:     在每个学生的能力之内,发展他的成人生活、就业和进一步学习和培训所需要的数学技能和理解,同时注意到一些学生在获得这种适当理解的努力中将会遇到的困难。          提供每个学生学习其他学科可能所需要的数学知识。           尽可能地帮助每个学生发展他对数学本身的欣赏和喜爱,以及他对数学在科学技术和人类文明发展中已经起到的和将继续起到的作用的认识。      最重要的是,使每个学生意识到数学为他提供了交流信息的有力手段。