法国数学教学的特点
第二次世界大战以后，法国的教育改革，可以说是沿着制度上的"民主化"和内容上的"现代化"展开的。这在数学教学上的表现是显著的。 战后，国际政治、军事、经济各方面的竞争激烈。而国家的兴衰，其根本在于教育。因此，50年代以后，各国的教育改革运动，蓬勃开展，有如风起云涌，声势异常浩大。而数学，是中小学的重要课程，牵涉面广，其教学质量的高低，对教育质量的优劣起着极为重要的作用。因此在教育改革运动中，数学教育的改革乃首当其冲。50年代末兴起于美国的"新数"运动及其后在60年代末在法国进行的"现代数学教育改革"运动，其影响遍及全世界（包括苏联），就是在上述背景下产生的。
"新数"或"现代数学教育改革"，其根本主张就是要求中小学数学教学的内容和方法的现代化，要求删除与当代数学理论发展及其应用无重要联系的陈旧古老的教学内容，废止过时迂腐的数学语言和思想方法，而代之以现代的数学内容，现代的数学术语和现代的数学思想方法，以适应现代数学和现代科学技术发展的需要。对于这种主张的陈述，最明确、最集中、最完整的莫过于布尔巴基（Bourbaki）学派领头人之一的迪约东尼（Dieudonné）于1959年在法国罗尤蒙市（Royaumont）举行的一次欧洲经济共同体的学术会议上的发言了。 这场要求现代化?quot;现代数学教育改革"，从1969年起在法国延续了十一二年，终于因为要求过高（过分地强调了数学的抽象性、普遍性和数学理论而贬低了具体性和特殊性，和削弱了实际的应用），和教学方法上的种种缺陷（过高估计儿童、少年的抽象能力，教学上以原理为出发点，以体系的建立为目标，而排斥具体事例和具体应用），而在1981年宣告失败，进行调整，提出了"反对形式主义"的口号，并制订新的教学大纲。后来，1981年的大纲经过修订和补充而成为我们在本章第二节中所介绍的现行大纲。如我们在前面所见，现行的大纲和六七十年付的大纲有着许多本质上的区别，但是?quot;现代化"的要求这一点上，是一致的。只是内容的选择和教学方法的使用，和以往是不同了。 民主化的要求，在数学教学上主要表现在：（1）教学面向全体学生；对学有困难的学生采取适当措施，使他们得到个别辅导，以达到基本的要求。（2）在十年的义务教育中，要求内容大众化、通俗化；要求制订中学毕业生应有的数学能力的明确标准。务使大多数人能够达到。（3）反对歧视，特别是反对对女孩学数学的歧视。（4）反对在法国长期存在的"以数学取士"的倾向（法国的许多考试都以数学为主要课目。法国教育界有些人士认为这和中国封建时代的科举以文艺取仕一样是不合理的），要求改变数学考试在选拔人才中所起的筛子作用，而使它成为推动人们去学习数学、掌握数学知识以适应新时代需要的一种动力。1988年，法国国民教育部委托巴黎第十一大学的卡斯泰勒（D.Dacunha-Castelle）教授组织了一个委员会，对全国大中小学的数学教育进行调查、研究，制订改革方案，向政府提供建议。1989年6月卡斯泰勒提出了他的第一份研究报告，称为"卡斯泰勒委员会建议纲要"。在这份纲要里，上面所说的一些民主化要求都被提及。 为使读者对法国现行数学教学大纲同"现代数学教育改革"时期的大纲在数学教育的指导思想上，在"现代?quot;与"民主化"的要求上，能有所对比，和对法国数学教育可能的发展趋势，有所估计，我们在后面记录下面三份文件的摘要（迪约东尼1959年在罗尤蒙市会议上的讲话摘要；法国1972年至1979年初中一、二年级的数学教学大纲；1989年卡斯泰勒委员会建议纲要），供读者参考，作为本章的结束。 一、迪约东尼1959年罗尤蒙市会议上的讲话摘要 这个讲话被认为是"新数"运动和"现代数学教育改革"运动的指导思想。其主要内容如下。
"近五十年来，由于数学研究工作的需要，数学家们不仅创造了新的概念，也创造了新的语言，这种语言能够精确而简洁地叙述数学的命题，它已经受了反复的考验并受到了普遍的赞扬。 "然而，直到今天，中学（至少在法国）却一如既往，墨守成规，依然使用着一套过时迂腐的语言，以致进入大学的学生可能从未听见过诸如集合、映射、群、向量空间等这样一些极为普通的数学名词，这就难怪他一和高等数学接触就感到迷惘而垂头丧气。
"近年来，微积分初步、向量代数和一点点解析几何已被引进中学，作为最后二、三年的教学内容。然而，这些内容总被放在次要地位。教学的重点仍然是多多少少和欧几里得一样的纯粹几何，再添上一点点代数和数论。 "我认为这种破烂货应该丢掉了。我们必须进行一场深刻的改革，否则情况会恶化到严重阻碍科学进展的地步。而我所考虑的改革方案，如果要用一句口号来概括，那么就是：欧几里得必须让路…… "是的，我们之所以能够建造起现代科学的雄伟大厦，这得感谢古希腊。但是，在这建造的过程中，特别是自19世纪中叶以来，人们对几何的基本概念作了深入的剖析，把欧几里得几何的遗骸作了新的改组，把它建立在简单而牢固的基础之上，并从现代数学的角度对它进行了重新的评价一一把它的精华同它一大堆毫无意义的笨重陈旧的内容区分开来。 "其结果也许是令人咋舌的。……如果要我对一个有思维能力的外星人讲解他从未学过的平面几何，那么，我可以说，二三个小时就够讲完整门课程了--一个小时用来叙述公理系，第二个小时讲公理系的有用推论，然后顶多再费一个小时，做些稍微有点兴趣的习题。至于初等几何书中的任何其他东西一一我指的是，譬如说，关于三角形的任何东西，……对于今天的数学家来说只不过是一种数学游戏！ "我的说法决非谬论，请让我稍加解释[这里迪约东尼列出了二维线性空间的公理系（A）及关于内积的公理系（B）]。 "我上面所说的'有用推论'，一方面是指二维线性代数（线性相关、基底、直线、平移群与相似变换、平行线、线性变换、线性型与直线方程），这些都可由公理系（A）推导出来，这些构成了所谓平面仿射几何；另一方面是指正交性、圆、转动、对称、角与等距变换群，这些都可由公理系（B）导出…… "三维空间几何可以按同样的线索展开…… "而现在，中学里是怎样做的呢？基本概念（点、线、距离、角）从来没有一个严格的公理化的定义，它们直接地依赖于直观而被引入，但它们和被认为是它们所由抽象化的物理事物之间的真正关系却从来是不清楚的。既然根本没有给出过一个完整的公理系，那么，当然，其中任何证明的正确性是完全无法检验的……
"现在，我把我设想的现代化课程的纲要说明如下。（后面迪约东尼列举了一个14岁的儿童应掌握的数学知识，然后又说明了从14岁起至17岁止逐年地应该学习哪些数学内容。）" 二、法国70年代初中数学教学大纲（部分） 初中一年级（每周四学时） 大纲的各部分是互相密切联系的，不可把它们各自孤立地进行处理。特别是第一部分中各种概念应当在其他各部分中加以运用。这为前者提供了背景和应用。 1．关系 从具体情况出发说明以下诸概念：集，元素，属于；子集，包含；交，并。记号： 。 通过具体例子，确切地描述一些关系和它们的性质。在有限集的情况下，用列表法或用箭头表示这些关系。 数值关系的例与其图示。
2．整数与小数 对十进制整数与小数的加、减、乘运算技能和意义了解进行检查。记号≤，＜，≥，＞的应用。 其他数制的练习。 计算结果的数量级。心算：多个整数相加或相乘的练习。
3．几何与物理对象的研究。引导到测量 （单位的选择，数量级，嵌入--意为其大小夹在两个数之间。这里是指：对一个物理量的测量结果，只能知道它的值是夹在某两数之间。） （1）线段，长度。 （2）圆周，圆周长，圆弧，扇形。 （3）带域，三角形，矩形，梯形，平行四边形，圆面；面积。 （4）几何体：立方体，平行六面体，长方体，正三棱柱，圆柱体，锥体，圆锥体；体积，质量，密度。
4．坐标法 （1）利用平面上的格子网定一城市内某处的位置。 （2）地球仪；极，纬线；赤道。子午线，子午线起点。用经度和纬度定一点的位置。
5．相对数--即正负数。 引到相对数的例子，整数与小数；两个或多个数之和；两数之差。相应的具体例子。 初中二年级（每周四学时） 1．关系 （1）复习初一大纲"关系"部分中讲过的概念。卡氏积，映射；单满射。 （2）从具体例子出发说明：子集；一个子集的余集。一个集的分割（partition）；与一分割相应的等价关系。序关系之例。 （3）结合法语学习和通过具体例子说明下列一些字的不同的含义：定冠?quot;le"，不定冠词"un"（"一个"），连接词"与"，连接词"或"，形容词"一切"；这些词在数学上的运用。 2．算术 一个数的一切倍数所成的集；自然数的辗转相除。 自然数的因数；素数。 通过具体例子做以下一些练习：把自然数分解为素数之积；两个或多个自然数的公倍数与公因数。 3．相对数 （1）相对数，整数与小数。和与差。 一个数的相反数，一个和的相反数，一个差的相反数；应用到含有和与差的相加与相减的运算上去。 一个数乘以一个自然数（累加）所得之积；一个和或一个差乘以一个自然数所得之积。 正数，负数。相对数的序。 绝对值，记号|x|。序与加法。 （2）（对与加法及序有关的概念有了很好的了解以后，才开始这部分的学习。） 两个相对数（小数）的积；几个数的积。 正整数幂，零次幂。 两个幂之积，一个积之幂。 一个和乘以一个相对数所得的积。因式分解。 序与乘法。 4．关于空间的初步的具体研究 （这里只要求作简单的描述。首先应对平面上的有关概念进行复习。） 直线，半直线，线段，平面，半平面；两条直线的相对位置；一直线与一平面的相对位置；直线与平面垂直；四面体和六面体的顶点、面与棱。 凸集定义；凸集之交。 5．坐标法 在画了斜格子网的平面上作确定一点的位置的练习。特别是：在画了格子网的两个平面上具有相同坐标的点之间的对应；图形的变换。 三、1989年卡斯泰勒委员会建议纲要 A．主要目标 A1.逐步实施"布尔迪约－格罗（Bourdieu－Gros）宪章"中为各委员会共同认可的诸原则。 A2.创立一种建立在学生活动的基础上的数学教学方法。在每一阶段，都要使学生感到所学的内容有意义。 A3.在各年级都要使用计算器和计算机。 A4.改革高中、大学前期、理工大学（大学校）预备班的教学结构，以减轻"按数学取士"的选拔人才原则的分量。 A5.鼓励学生从事数学活动；反对各种清规戒律，特别是反对社会强加于女孩的各种清规戒律。 A6.要为"大众数学"（"为人人的数学"）划定确切的目标，使得它们在义务教育的10年学习中能够达到。这些目标也就是一个"平均的成年人"（特别是80％"中学毕业"学位－baccalauréat－获得者）应具有的数学能力的标准。这些目标如下： （1）会用四则运算解决实际问题，其中包括心算，和使用计算器（机）进行运算。 （2）理解并会运用"比例"概念与方法于简单的情景；会算百分比和比率；会使用计算器（机）进行此类运算。 （3）理解数量级的思想，并会运用这种思想和使用计算器（机）去检查工作。 （4）会计算利息。 （5）懂得定向、定位的基本体系；会用于地图、交通图等的阅读中。 （6）识得基本的几何图形（方形，球，锥……）；对使用圆规、直尺绘画立体图形和它们的截面有一些实践；会对简单的面积、体积进行比较。 （7）会作字母式运算，并会用于归结问题。 （8）理解函数概念，增减概念；认识一些简单的函数（包括指数函数） （9）懂得初等逻辑的法则，并会使用；知道在什么情况下使用排中律。 （10）知道机遇可以量化，会区别决定性与随机性。掌握一种了解变易性的实验手段（与生物学取得联系）。懂得什么是简单统计，什么是抽样检查。 （11）对于以上各项知识，都要懂得如何与计算机的使用相联系，与各种图象表示方法相联系，特别要熟悉表达数据的各种方法（列表法、图示法等）。 B．对各学段的一些建议 B1.小学。对术语的最初使用要加深探讨；要引入计算器的使用；要学习几何；注意克服空间定位定向中所遇的困难。 B2.初中。
1.每周上课4学时。
2.建立一个灵活的制度，使学生在集体课堂教学之外，可以得到个别的帮助。这个制度可以规定在教师的领导下，使用大学生、中学生、非教学工作人员的协助进行工作。
3.建立数学的集体自修室。
4.组织适当的工作组（或委员会）研究数学术语使用的难处侍狻０颜夤ぷ魍跻坏礁咭患改昙涔赜谡庑┠谌莸目己斯ぷ髁灯鹄础?
5.发展学科间的联系方法，特别是要把数据收集与整理同数学与科学试验之间联系起来。
B3.高中。
1.在高一，重新检查分科选择的步骤，给学生以更大的自主权。
2.在高中二、三年级只分三科：
S－理科；
B－社会科学；
A－文科（文学与人文科学）
在每科中制定适当的课时表，其中约20课时分配给公共基础内容，其余课时分配给两门选课（高二每门2课时；高三每门3课时）。这些选课的内容可以因各年的学生状况不同而有区别。 3.对各分科的一些建议（从略）。
B4.职业中学（高中）（从略）。 B5.大学理科前期；大学校（理工学院）预备班（从略）。 C．内容 要逐步地作适当的调整，使之均衡。
●使用计算机（器），而舍弃解析上的重复工作。
●引入适当的概率论。
●明确：初等逻辑的训练不是作为一门独立的学科，而是作为一般工具来进行。
●要促进数学与其他学科间的联系；利用其他学科引入数学概念；使学生认识和发展数学的应用。 D．评估与手段 D1.减少经常性测验的次数，每季度测验两次便足以作为判断的依据。向家长说明：教师工作成绩并不以测验次数的多寡来衡量。 D2.在学生自由地选科的问题上，至少要开始累积一些有意义的经验。特别是高一，要把这些经验公布于众。 D3.1关于"中学毕业"学位（或"中学会考"），在数学（公共基础）方面可采取以下方式：
1.一次测验，其主要目的是考察学生对付一个相当一般的问题时采取措施的能力。一次长时间的考试，口试与笔试同时举行，可携带文献资料，这可安排在学年中的一个星期六。其分数占最终成绩的40％。
2.一次全国性考试，含三考卷：两小时的（经典）证明题（占成绩的30％）；两小时的解实际问题；一小时的答案选择考试。 D3.2理科中学毕业学位，在非理科的论文写作方面每年最多写一篇。 D4.组织一个工作组，负责规定初中与高中的学业标准。对于计算机（器），工作组至少要尝试制订一份今后五年内（两次修订大纲的间隔期）有效的"负荷（数量）方案"。 D5.改善教科书。 D6.改进（经济上）供学生阅读的数学杂志；数学竞赛与奥林匹克杂志。 E．师资培养 E1.这问题应优先考虑。 E2.保证小学教师至少要达到高中理科班毕业学位所要求的数学四平。 E3.改进新教师在数学教育学、数学史以及数学认识论诸领域的培养。 E4.发展在职培训工作，使之更加制度化，加强各大学的数学教育研究所的工作。 E5.改进教师的预聘工作。 E6.在各省建立教师协会。
S.O.S：紧急聘用计划（两年内为解决教师短缺采取的措施）。（从略） | 
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