数学与现代社会
数学在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其它生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了人文科学领域，并在当代使人文科学的数学化成为一种强大的趋势。时至今日，可以说数学的足迹已经遍及人类知识体系的全部领域。数学在现代社会中有许多出人意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。人们可以把数学对我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。事实上可以说，我们大家都生活在数学的时代--我们的文化已经"数学化"。 一、数学与自然科学 虽然数学很早（甚至可以说是从一开始）就与自然科学建立了密切的联系，但直到19世纪，这种联系仍然是很不完善而且极不均衡的，正如恩格斯在《自然辩证法》（写于1873－1883年）中所描述的："数学的应用：在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中已经比较困难了；在物理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中＝0。"数学与自然科学在20世纪的发展完全改变了这种局面，它们越来越紧密地相互结合，越来越深刻地相互影响和渗透，产生出许多交叉学科，形成了一个规模庞大的数理科学系统。 1.天文学
天文学是最早运用数学的科学领域，天文学家的数学传统根深蒂固、源远流长。自从公元前4世纪希腊数学家、天文学家攸多克色斯（Eudoxus）创立了宇宙的第一个几何学模型（同心球壳层组合）以来，天文学家的方法就主要是数学（几何学）方法，从托勒密到哥白尼、开普勒等都是如此。牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质上是数学的而不是物理学的。
公元前4世纪，希腊数学家梅内克莫斯（Meneachmus）在试图解决倍立方体问题的过程中发现了圆锥曲线。公元前3世纪，阿波罗尼斯（Apollonius）写出了8卷本的杰作《圆锥曲线论》，对这些曲线的性质作了全面、透彻的研究。然而，不论是阿波罗尼斯还是其他希腊数学家，都万万没有料到这种曲线会同真实的物理世界之间有什么联系。过了大约1800年，当开普勒在根据哥白尼的日心说体系分析行星的运动轨道时，他发现古希腊数学家们为寻求内在的数学美而研究过的这种曲线，竟然恰好是描述行星的运动轨道所必需的。在评价开普勒的这一了不起的发现时，爱因斯坦曾这样写道："我们对开普勒的钦佩仅次于对我们自己也生活在其中的大自然的不可思议的和谐的赞美和崇拜。早在古代，人们就已经设计出了表明规律性的最简单形式的曲线。在这些曲线当中，除了直线和圆之外，最重要的是椭圆和双曲线。我们可以看出，后两种曲线体现在天体的轨道之中，至少是与其非常接近。看来，人类的智慧能在我们发现某种形式实际存在之前就已事先独立地将它们构想出来了。开普勒的辉煌成就正是这样一种事实的最精彩的例证，即知识不能单从经验中来，而只能通过将智力创造同所观察到的事实相比较而获得?quot;
19世纪以来，提丢斯－波德定则的提出、海王星的发现、小行星的发现等重要天文学进展，都是成功地运用数学方法与思想的范例。 18世纪以前，人类所认识的太阳系成员只有太阳、六大行星和一些行星的卫星，太阳系的半径也只有14亿公里。1766年，德国的中学教师、天文爱好者提丢斯（J.D.Titius1729－1796）根据一些已知的行星数据，发现已知的六大行星与太阳的距离似乎有一定的规律性。他在翻译邦内特（Bonnet）《自然的探索》一书时的一个译注中写道："只要注意一下行星彼此的间隔就可发现，它们相互之间的距离也同它们的体积一样，几乎按一定的比例在增长。如果把太阳到土星的距离分成100个单位，那么，水星到太阳的距离是4，金星是4＋3＝7；地球是4＋6＝10；火星是4＋12＝16。但从火星到木星，这一十分准确的序列竟出现间断。从火星往外，按说应是4＋24＝28，可是在该处既无行星也无卫星。难道造物主有意把这一位置空着？不，还是让我们信心十足地作如下猜想：该位置是属于火星的一颗尚未发现的卫星的；另外，说不定木星也有几个绕它旋转但迄今仍未被望远镜发现的天体。从这一情况不明的位置再往外是木星的领域，4＋48＝52；土星则是4＋96=＝100。这是一个多么令人赞叹的关系啊！" 1772年，柏林天文台台长波德（J.E.Bode，1747－1829）根据提丢斯的发现进一步研究并正式公布了这一天文数学规律，这就是著名的提丢斯－波德定则。后来人们把它表述为：从离太阳由近到远计算，对应于第n个行星，其同太阳的距离a＝0.4＋0.3×2（n－1）（天文单位），但是，对水星而言，n不是取作1，而是－∞。天文单位是指太阳与地球间的距离，现代测量值为1,4959,7892公里。
提丢斯－波德定则给出的一系列数据，与当时对六大行星到太阳距离的观测值相当接近。1781年，德国威廉·赫歇尔（William Herschel，1738－1822）发现了天王星，其位置几乎恰好处在上述定则预言的位置上。使之获得了强有力的支持。另一方面，根据这一定则，在火星与木星之间相当于2.8个天文单位的区域里有一个空缺。于是18世纪末有不少天文学家致力于在这个区域寻找新行星。1801年1月1日，意大利西西里岛天文台台长皮亚齐（G.Pazzi，1746－1826）在对金牛座进行通常的巡天观测时，发现了一颗他从来没有看到过的星辰，第二天这颗星逆行4′，沿着这个方向一直逆行到12日，此后又改为顺行。1月24日，皮亚齐写信给波德告知这一发现。当时通信要靠邮递马车，波德收到信已是3月20日，他认为皮亚齐发现的正是人们长期以来寻找的那颗行星，立即着手进行观测，但此时这颗星已经淹没在太阳的光辉之中无法观测了，而皮亚齐自己的观测也只进行到2月11日。 全欧洲的天文学家都期望重新发现这颗后来被定名为谷神星的行星。这时，青年数学家高斯（C.F.Gauss，1777－1855）根据拉普拉斯（P.S.Laplace，1749－1827，法国）的方法和他在算术－几何平均方面的知识，详细计算了谷神星的星历表，预测了它再次出现的时间和位置。高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道是椭圆、抛物线还是双曲线，只要根据三次完全观测（即包含时间、赤经和赤纬的观测）就能算出运行轨道的特性。这种方法的数学工具是高斯创造的最小二乘法。高斯方法对新发现的天体轨道的计算有本质的优越性，特别是当观测资料十分缺少时，例如对谷神星的最初观测。1801年12月31日，人们在高斯预报的方位上重新找到了这颗星，后来发现它是一颗直径只有700多公里的小行星。此后，天文学家们在火星与木星轨道之间又发现了许多小行星，例如：1802年德国天文爱好者奥伯斯（H.W.M.Olbers，1758－1840）发现智神星；1804年，德国业余天文学家哈丁（K.L.Harding，1765－1834）发现婚神星；1807年奥伯斯发现灶神星；1845年柏林邮电局局长、天文爱好者亨克（K.L.Hencke，1793－1866）发现义神星。至今正式编号的小行星已有3000多颗。 1781年3月13日，德国业余天文学家威廉·赫歇尔（Willam Herchel，1738－1822）利用15厘米口径的反射望远镜发现了天王星。此后，当人们用万有引力定律来预报天王星的位置时发现天王星的实际位置总是与理论计算得出的结果不符。这种现象使当时许多天文学家非常苦恼，到底是观测有误，还是万有引力定律失灵了？后来有人提出，在天王星轨道之外，可能存在一颗未被发现的大行星，它的引力影响了天王星的运动，所以天王星的运行轨道才出现了偏差。英国天文学家亚当斯（John Couch Adams，1819－1892）从1841年开始研究这个问题，经过几年的努力，他于1845年10月21日算出了这颗神秘行星的质量、轨道以及在天空中的位置，并将计算结果寄给了英国格林威治天文台台长埃里（Sir George B.Airy，1801－1892），请求他用天文台的大型望远镜来寻找这颗行星，但埃里把这些计算结果放在一边，过了九个月才想起过问此事，又由于他委托的查找者手头的星图不完备，观测工作没有得到结果。 大约与此同时，法国天文学家勒维耶（U.J.J.Leverrier，1811－1877）也在研究同一问题，并于1846年8月31日整理出了计算结果，预告了那颗未知行星的位置。他在向法国科学院提交研究报告的同时，还给欧洲一些国家的天文台写了信，请求他们用天文望远镜帮助寻找新行星。根据他指出的位置，柏林天文台的加勒（J.G.Galle，1812－1910）于同年9月23日观测到了这颗行星。后来人们把它命名为海王星。 海王星被发现后，人们又发现它的运行轨道也有偏差，从而进一步推测在海王星轨道之外还有一颗未发现的行星。1915（一说1905）年，美国天文学家洛韦尔（Percival Lowell，1855－1916）完成了预测推算，并着手用照相方法搜寻，但由于这颗行星距离地球太遥远，洛韦尔所作的推算又有一定偏差，搜寻工作未获成功。在他的工作的基础上，美国天文学家汤博（C.W.Tombaugh，1906－）于1930年1月21日（一说3月13日宣布）发现了这颗新行星，后来被命名为冥王星。 当代，数学在天文学中的应用更加广泛和深入。一个著名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度常常是以光年计算的，其时间常常是以亿年计算的，天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其它许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及到极为复杂的变量微分方程和积分方程。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现与计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。 2.物理学
（1）万有引力定律
万有引力定律的提出是牛顿的重要贡献。牛顿是在23岁时作出这一重要发现的。他写道："就在这一年，我开始想到把重力引申到月球的轨道上，并且在弄清怎样估计圆形物在球体中旋转时压于球面的力量之后，我就从开普勒关于行星公转的周期与其轨道半径的二分之三方成比例的定律中，推得推动行星在轨道上运行的力量必定与它们到旋转中心的距离的平方成反比例：于是我把推动月球在轨道上运行的力与地面上的重力加以比较，发现它们差不多密合。" 由于两种计算所得出的结果是"密合"的，这就使得牛顿确信太阳对行垦的吸引力与地球对月亮的吸引力是同一种力，而这就是地球吸引苹果或使石头落地的那种力。这样，数学的计算就直接帮助牛顿作出了万有引力定律这一重要的发现。 （2）电磁理论
法拉第（1791－1867）在19世纪30－40年代已经建立起磁和电力场的概念。法拉第是一位具有深刻的直觉能力的实验物理学家，但他不太精通数学，没有用数学语言写出他关于电磁的概念，而麦克斯韦（1831－1879）则在1861－1862年间从数学上用场方程的形式来表述了这种思想。 杨振宁在《几何和物理学》写道："在1865年，麦克斯韦发表了这篇论文，它理应被认为是上个世纪物理学中最伟大的一篇论文。论文的题目是：《电磁场的动力学理论》。……从论文的明确的陈述看来，麦克斯韦的计划就是要以数学的公式写出法拉第已经作为物理观念而想到的东西。在他写作论文的过程中，一旦他把经验定律具体化为方程的形式，他发现有一些前后矛盾的地方，这些只能通过加入'位移电流'才能够消除掉。这一发展具有巨大的重要性，并且说明了直觉常常是多么地不够。精确细致的数学公式是有决定性作用的，因为有了它，人们就能够运用充分发展的数学形式工具来处理问题。……人们从电磁的经验定律开始，导致法拉第的力线概念，它一旦纳入数学形式，就得出麦克斯韦方程。而后者又促成了场论的诞生，它至今还是今天的物理学中的中心议题。麦克斯韦方程导致洛伦兹变换的概念，通过爱因斯坦的工作，揭示了平直的空间－时间几何。 （3）爱因斯坦的广义相对论
1905－1915年，爱因斯坦（Einstein）发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是认识到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径，例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁掠过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。这一预言不久就为天文观测所证实。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播，光线路径的弯曲实际上表明引力场的空间是弯曲的。而在此之前半个世纪，黎曼（G.F.B.Riemann，1826－1866）就研究了弯曲的三维空间的问题。黎曼继承了高斯、波尔约、罗巴切夫斯基的工作，这些数学家的研究动机在于数学的内部，他们试图澄清几何公理系统，与引力毫无关系。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经作好了。 （4）群论与基本粒子物理学
16－18世纪，数学家们普遍关注的一个问题是一般五次以上代数方程的根式解，这是一个十分困难而又相当抽象的问题。为了判定什么样的代数方程有根式解，1829－1832年间，年轻的法国数学家伽罗瓦（E.Galois，1811－1832）创立了群论。随着时间的推移，物理学家们认识到群论为描述物理学的对称性问题提供了所需的工具，这种对称性在基本粒子物理学的研究中是至关重要的。实际上，对于基本粒子，除了描述它在对称变换下行为如何，别无其它描述方法。 关于群论在物理学中的应用，有一段有趣的小插曲：1910年，美国数学家维布伦（O.Vebleh，1880－1960）和物理学家詹斯（J.Jeans）一起讨论普林斯顿大学的数学课程改革时，詹斯提出："我们完全可以把群论去掉，因为它永远也不会在物理学中有任何作用。"关于维布伦是否与詹斯进行了辨论没有留下记载。无论如何，群论课程继续开了下去。极具讽刺意味的是，群论后来成了物理学和的核心主题之一，特别是它在基本粒子研究中已经成为占支配也位的思想。一件十分偶然的事是：从三十年代起，外尔（C.H.H.Weyl，1885－1955）和韦格纳（E.P.Wigner，1902一？）在物理学中开辟了群论的观点，而他们都是普林斯顿大学的教授。 （5）规范场与纤维丛
杨振宁在《几何和物理学》写道："回顾前面关于规范场的历史渊源的画面，我已经在其中列举了物理学家认为在描述实验定律时是必要的那些概念的发展。寻求这些概念的动机渊源于物理现象。因此十分令人惊讶的是人们发现规范场概念等同于叫做纤维丛的几何概念，它是数学家完全独立地发展起来的，与物理实在没有任何关系。例规范场是一个几何概念，这不仅是正确的，而且其结果是拓扑复杂性对于规范场也是重要的。对这一点的重视是来自狄拉克的磁单极，特·霍夫特的单极子和贝拉维安的膺粒子解。事实上，正是通过例如狄拉克的磁单极子所必需的拓扑复杂性，才使我变得绝对相信：象麦克斯韦场那样的规范场，不仅可以用纤维丛的几何语言来表示，而且必须这样来表示，才能表达它们的全部意义。" 3.地球科学（池理学，地质学，地球物理学，海洋学，气象学）
欧洲文艺复兴时期，由于远洋探险事业的发展，需要绘制更为精确的世界地图，这就要求将球面上的图形经过某种变换使之成为平面图形，而其形状又不致发生太大的变化。问题最终归结为研究可展曲面，即可以将其平摊在平面上而不产生畸变的曲面。因为球面不能切开来这样摊平，于是问题就要求寻找一张形状与球面接近而又能不发生畸变地铺开的曲面。大数学家欧拉（L.Euler，1707－1783，瑞士）是研究这个问题的第一个人。法国数学家蒙日（G.Monge，1746－1818）独立地研讨了可展曲面的课题。从1816年开始，高斯（Gauss，1777－1855）在大地测量和地图绘制方面进行了长时间的实践。这些研究与实践对微分几何这一重要数学分支的建立起了关键性的作用，从中产生的理论和方法又极大地推动了大地测量和地图绘制的进步。 射影几何是产生于17世纪而在19世纪获得全面发展的数学分支，长期以来被认为是为了纯数学的目的而研究的，很难说会有什么实际应用。然而近年来却发现，它在航空摄影测量学中十分有用。为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图象拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面图景投影到照相底片的平面上。这两个平面如果不平行，底片上的图象就会变形，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。 1967年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot，1924－ ）发表了"不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维"（How Long is the Coast of Britain，statistical Self Similarity and Fractional Dimension）一文，其中首先注意到更早的理查德森（Richardson）已经作出的研究：当用无穷小的尺度去测量海岸线时，会得出海岸线是无限长的令人困惑的结论。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于1977年出版了《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的正式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着，从目前发表的论文看，所涉及的领域已遍及物理学、化学、天文学、地球科学、生命科学与医学以及许多技术领域，还广泛渗透到人文与社会科学及艺术领域。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学随之孕育而生。在现阶段，分形地貌学作为理论地貌学的一个新分支，已在两方面展开工作：一是凭借地学家和数学家的丰富想象，用计算机创造出各种标准的理?quot;地貌"，如山峰、湖泊、丘陵、沙漠等。通过研究这些"干净"、"纯洁"的地貌，人们可以找到塑造某些特殊地貌的内在动力学机制。另一方面，分形地貌学必须直面现实，对大自然中客观存在的各类地貌进行卓有成效的研究，求出有关分维，作出区域划分，进行理论地貌学阐述。目前这两方面的研究都已获得许多进展，显示了分形理论在地球科学中的巨大应用价值。 数学在地球科学中的应用还产生了计量地理学、数学地质学、数值天气预报等一系列研究领域与方法，并在地震预报、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。现代气象学中的数值天气预报是在数学家冯·诺伊曼等人的设计和支持下试验成功的。50年代中期，美国已将数值预报用于日常天气预报业务，以后逐渐扩展到世界各国。此外，现代气象事业中广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法。海洋中融化的冰山，油和水在储油地层中的流动及晶体的增长都是受偏微分方程支配的自由边界问题的例子，许多实质性的进展依赖于有关的数学理论与方法的发展。 4.化学
门捷列夫于1869年2月17日发现的元素周期律是化学发展史上的一次重要革命：它揭示了看来毫无联系的各种化学元素之间所存在着的深刻的内在联系，从而为现代的无机化学奠定了基础。门捷列夫是如何作出这一发现的呢？对此，门捷列夫本人曾总结道："为了正确地进行推论，不仅需要了解元素质的标志，而且要认识它的量的标志，即可计量的标志。当某些特性能够计量的时候，这些特性就不再带有主观随意性，并使对比具有客观性?quot;由此可见，门捷列夫之所以能作出上述发现，其重要原因之一就是他十分重视量的分析以及量和质的辩证关系。门捷列夫写道："当我考虑物质的时候……，总不能避开两个问题：多少物质和怎样的物质……因此自然而然就产生出这样的思想：在元素的质量和化学性质之间一定存在着某种联系，物质的质量既然最后成为原子的形态，因此就应该找出元素特性和它的原子量之间的关系。"这样，定量的分析最终就导致了元素周期律的发现：化学元素的性质随元素原子量的增加而呈周期性的变化。 本世纪以来，数学在化学中的作用日益广泛和深入，产生了许多交叉学科，例如：
数理化学：先用化学的数学结构进行记述，而后再来说明其物理意义。突变理论的应用。
化学计量学：近年来发展起来的一门化学分支学科，由数学、统计学、计算机科学与化学相结合而产生。它应用数学、统计学方法研究化学量测中的实验设计、数据处理、信号解析与分辨、化学分类决策与预报等问题，能解决传统的化学研究方法所难以解决的复杂化学问题，因此化学计量学诞生以来，一直受到化学工作者的极大关注。无论是理论化学还是实验化学，它们与化学计量学方法相结合，都可能在不同程度上取得新的进展。化学计量学的兴起及迅速发展，对化学学科，特别是对分析化学学科的发展产生了重大的影响。化学计量学已作为化学量测的基础理论与方法学，成为当今化学发展的前沿领域之一。
化学动力学：主要工具是常微分方程、偏微分方程、矩阵论、数学模型方法--有限元方法等。 化学系统中的非线形动力学：对这一领域的研究已经导致了如分支理论、命运决定性混沌、分维几何学等新领域的发展。 量子化学：1927年，人们将量子力学的波动方程运用于化学领域，对氢分子的运动过程进行求解，从而建立起化学键理论。50年代以后，化学键理论更快地向着定量化的方向发展，出现了计算化学，它可以定量研究较复杂的分子。 计算量子化学：从量子理论的基本方程，使用复杂的数学工具和电子计算机确切地预言分子的性质。实际上，量子化学的发展在很大程度上依赖于计算手段的功效和适用性。
前面提到的分形理论在化学中也有广泛的应用，例如：固体和流体间的化学反应是化学、化工、冶金、材料制备加工、腐蚀等极重要的反应过程。固体表面一般是粗糙的，于是就需要用分形理论和方法加以描述和研究。多孔性物质在地球表面极为普遍，在海洋化学、地球化学、石油开采等许多方面都遇到这样的表面，如油田中贮油的砂岩的多孔结构等。生物躯体和生物高分子集团的复杂结构，如肌肉中的微血管分布，是"三维"的"粗糙"结构，这一结构与许多医药化学（如药物在人体中的扩散过程动力学）问题有密切关系。大量的化学图谱（光谱、波谱、极谱……）曲线实际上多是不平滑的，其粗糙度与信息量的关系值得探讨。液态和非晶态固体中原子排列、空隙分布、不同种原子及其集团的分布，牵涉到许多不规则的图形。描述上述各种复杂的几何图象，把握其规律，从而研究上述化学体系的课题，在理论上和实际上都具有重大意义，分形理论的出现不仅为研究这些问题提供了理论基础，而且提供了强有力的方法。 5.生命科学与医学
19世纪后期，恩格斯曾指出，数学在生物学中的应用等于零。本世纪以来，数学却出人意料地与生命科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域一一生物数学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学，生物微分方程，生态系统分析，生物控制，运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的一些新的生物学分支，例如数学生态学，数量生理学，数量遗传学，数量分类学，数量生物经济学，传染病动力学，数理医药学，分子动力学，细胞动力学，人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每一个领域，例如分子生物学：生物化学、生物力学、生物经济学、种群动力学、流行病学、医学、免疫学、细胞生物学、资源管理、神经网络等。 由于数学对生物学的发展产生了深远的影响，德国一位生物统计学家高（Goh）说："这门学科（指生物学），由于应用了数学，获得了第二次生命。"在生态学的研究中，所需要的数学知识更广泛，更深刻。因此，加拿大著名的生物学家E.C.匹娄（Pielou）说"生态学本质上是一门数学"。 近代生物科学的发展有两个特点，一是微观方向的发展，?quot;细胞生物学"，"分子生物学"，"量子生物学"等的产生。显微镜的出现使得生物科学向微观方向发展成为可能。在显微镜下人们可以看到生物的细胞及其结构，但显微镜无法使人们了解各种细胞群体之间的互相作用。作为一个系统，研究它的发展过程以及趋势，这就必须用数学方法来进行。人们可以通过显微镜观察和实验去了解生物细胞的各种特性，但不能得到综合的结论，而这种结论也必须运用数学方法来得到，因此可以说数学方法对生命科学微观方向的发展是必不可少的。生物科学另一发展趋向是宏观方向.从研究生物体的器官、整体到研究种群、群落和生态圈。对生物体、生物器官、细胞分子的研究可以通过观察和实验来进行，但是生态学研究则不是这样，数学推理显示了特别的重要性。例如，人们预测长江上游的森林砍伐将使长江成为第二个黄河，这个预测只能通过推理（数量的推理）来完成，不可能用作实验的办法来证实。 本世纪20年代中期，意大利生物学家迪安康纳在研究地中海各种鱼群的变化及其相互影响时发现，鲨鱼及其它凶猛大鱼的捕获量在全部捕鱼量中的比例有戏剧性的变化。1914－1923年在阜姆港有如下的统计数据：
年 份 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923
凶猛大鱼的捕在量 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 10.7
占捕鱼总量的比例 迪安康纳为在第一次世界大战期间凶猛大鱼的捕获量成倍增长而感到困惑。一种理由是：由于战争使渔业萧条，捕鱼量下降，因而供凶猛大鱼食用的鱼较多，从而使大鱼有了大幅度的增加。但是这个理由无法回答这样一个问题：捕鱼量小，作为大鱼猎物的小鱼也应该多起来，大鱼虽然也会增多，但其总体比例似乎应该不变。是什么原因使得大鱼的增长大大超过一般小鱼的增长呢？ 迪安康纳竭尽一切生物学上的解释都不能解开这个谜，转而求助于他未来的岳父--著名的意大利数学家伏尔泰拉（1860－1940）。伏尔泰拉建立了一个数学模型，用微分方程组描述捕食者与猎物之间的相互消长，得到的解为：其中H和P分别表示猎物和捕食者的平均数，a1，a2，b1，b2都是参数，c是捕鱼量。可以看出：当捕鱼者C增加时，捕食者P减少，猎物H增加；当C减小时，P增加而万减少。数学模型终于给生物学一个满意的答复。在上述数据中，1914－1918年间因战争使捕鱼量下降，凶猛大鱼的数量增加；战争结束后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量便逐渐下降。 这一模型所揭示的规律现在称为伏尔泰拉原理，它是使用数学方法成功地解决生物学难题的早期范例，并已在生物学中得到广泛应用。例如使用剧毒农药杀虫，常常会把害虫及其天敌一起大量毒杀，根据伏尔泰拉原理，这会使害虫的天敌数量下降更快，最终引起不利后果。这就是不能大量使用剧毒农药的原因之一。 没有什么能比在诺贝尔奖背后的许多数学迹象更能说明数学在生命科学中的潜力。X射线计算机层析摄影仪（简称CT）的问世是本世纪医学中的奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图象。但通过X射线透射时，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过这个平均值以求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的J.拉东（Radon，1887－1956）变换解决了这个问题，如今拉东变换已成为CT理论的核心。首创CT理论的A.M.科马克（Cormark，美）及第一台CT制作者C.N.洪斯菲尔德（Hounsfield，英）因而获得了1979年诺贝尔医学和生理学奖。1984年的诺贝尔化学奖授予生物物理学家H.豪普特曼（Hauptman），奖励他在X射线晶体照相术中采用傅立叶（Fourier）分析方法的重大成果。 80年代后期兴起的磁共振显像（MRI）的主要技术之一也是数学方面的，它以19世纪发展起来的傅立叶变换的快速精确的反演为主要特征。由于其作用象旋转着的小磁铁一样的氢原子的密度未知，在MRI中用一块大磁铁和缠绕线圈测量患者体内的共振磁场。用来重构氢密度的数学方法经常是应用于测量信号的反傅立叶变换。这能确定磁旋子的密度，或患者体内氢原子的浓度，它依次给出内部组织的图象，就象CAT扫描，但图象要好得多。
微分方程被用于生理学，组合方法被用于发生链，概率论被用于流行病学，神经生理学中要使用图论，蛋白质工程要用数学模型，临床实验要用统计方法。新应用的单子可以无休止地开列下去。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力相多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿一一了解生命和智力。 医学中应用数学方法的一个典型例子是计算机数值诊断，即利用数学的信息理论、数据处理技术以及电子计算机这个强有力的工具，对病患者的症状表现和各种化验和检验指标进行数学加工分析，做出疾病的定量诊断结果。它与临床诊断不同。临床诊断是医生根据自己的经验和理论知识的推理做出最有可能的判断，诊断的准确性与医生本人的经验和知识水平有着直接的关系。而数值诊断则不然，它依赖于大量的历史诊断记录和对这些资料的数学处理方式。已诊断病例越多，症状资料越详细，处理方式越得当，就越能得到较确切的诊断结果。 曾被认为十分纯粹和抽象的拓扑学不仅已经进入生物学领域，对生物学的基础理论研究产生多方面的影响，而且以出人意料的方式直接进入了医学。例如，著名的酶整合酶把两个双螺旋DNA分子切成两个，一个长DNA分子和一个小的、环形的DNA分子，并且把较小的分子绞接在较长的分子上。环连的双股圆环，称做环连体，似乎相当普遍。在一种引起昏睡病的人体寄生虫锥虫的身体内，出现环连的圆环的复合体。用药物溴乙啶来处理，就使得这些圆环缠绪在一起不能解开，从而防止这些寄生虫进一步繁殖。这样一来，昏睡症可以用拓扑学来治愈了（尽管实用上并不用这个药，因为它有严重的副作用）。许多药物及抗生素都干扰改变超螺旋的酶的作用，从这一原理出发，许多疾病都将获得新的治疗途径。 DNA分子是生物传宗接代的主要物质基础，它是遗传信息存储的基本单位，许多有关生命起源的重大问题都依赖于对这种特殊分子的性质的深入了解。因此，关于DNA分子的结构与功能问题，几十年来一直吸引着许多生化学家和遗传学家们的注意。最近十几年来，科学家们越来越清楚地认识到，DNA分子的三维空间的拓扑构型对它在细胞里如何发挥其功能有重要影响。 人们常认为DNA分子的空间构型是双螺旋，两条互补核苷酸链缠绕在一条共同的笔直的轴上。然而，现在已搞清楚，这一双螺旋的轴往往不是直的，而是弯曲的。实际上，双螺旋会以多种形式在空间盘绕而形成更高一级的新的螺旋--称之为超螺旋。 DNA分子的超螺旋的空间结构是一种普遍现象，全部的DNA肿瘤病毒和许多细菌的DNA分子的空间构型等呈现多种形式的超螺旋结构。人们不免要问，这些超螺旋结构之间差异怎样识别？各种形式的超螺旋是怎样影响它们在细胞里发挥其功能？它们是怎样影响DNA的复制？又是怎样影响DNA的转录以及转录速度？DNA分子的空间构型发生怎样的形变才有可能使它的基因重组和重排？怎样的形变不会使遗传信息发生变化？等等，所有这些问题都离不开DNA分子的空间构型的拓扑描述。离不开拓扑学中的同胚、同伦、合痕以及有关打结理论方面的知识。当我们把平面或空间中一个图形，设想为由弹性橡皮薄膜做成时，那么我们假定它可以伸缩、可以（任意地）改变形状，如果在某个形变过程中，始终没有出现撕裂、始终没有把P上不同的点粘在一起，那么我们就称图形P在这个过程中是一个橡皮形变过程（注意，这里的橡皮形变过程实际上是拓扑学中合痕概念的一个特例）。如果DNA分子在某一过程中，不管它在空间是怎样的旋转、怎样的拉伸、怎样的缠绕、怎样的卷曲，只要它在上述过程中是橡皮形变过程，那么不难证明：在这个过程中，这个DNA分子的遗传信息一定不变。要想一个具有超螺旋结构的DNA分子得以复制，这个超螺旋结构必须经历一个非橡皮形变的过程，换言之，必须先进行适当的撕裂，把两条互补股链分开，再重新缝接起来，才能由一个DNA分子复制成两个DNA分子。因此，DNA分子超螺旋结构的拓扑型的转化是DNA复制的先决条件，而且也是基因重组和重排的必要步骤。不仅如此，生化学家们最近知道，另一个拓扑概念一一超螺旋度还影响到复制与转录速度。由此可见，拓扑学中一些基本概念在探索DNA分子奥妙过程中起了重要作用。如果我们人类能够改变某些细菌和病毒的遗传结构，即人为地改变DNA分子拓扑型，那么可能导致细菌和病毒的DNA分子的生物学宗旨的变化。由于人类和许多经济动植物的疾病跟这些细菌、病毒有关。因此这些细菌、病毒的DNA分子的拓扑型的转变，可能在医学、农业、畜牧业上带来根本的好处。看来，这是人类征服大自然的一项带有战略性的任务。 在当代，数学模型被广泛应用于生理学领域，例如心脏、肾、胰、脏、耳朵和许多其它器官的计算模型。随着近年在计算技术和数值草法方面迅猛的发展，出现了前所未有的机会。人们能充分详细地模拟人体流体动力学功能并运用于认识和治疗疾病。混沌动力学和分维几何学正在被用于研究流行病的爆发模式，建立流行病的动力学模型。绝大多数流行病的爆发是混沌的。混沌来自非线性，而生命世界是非线性的世界，因此混沌在其中无处不在。 糖尿病是一种新陈代谢病，常常是通过葡萄糖耐量试验（GTT）来诊断，这种诊断方法的最大困难是对于轻度糖尿病患者的诊断没有公认的准则。三个医生在解释同一试验结果时可能作出三种不同的诊断。例如，纽约罗得岛有这样一个病例：看了一个病人的GTT后，一个医生诊断为糖尿病；另一个医生则认为是正常的；而另一位专家却断定病人是患了垂体瘤。 60年代中期，美国的Rosevear和Molnar医生，以及Minnesota大学的Ackerman和Gatewood教授，他们根据生物学中的寸一些事实，建立了描述血糖调节系统的数学模型，分析了这个数学模型的解，由一、二个参数就可得到区分正常人同轻度糖尿病患者和潜性糖尿病患者的准则。这模型为：
dx/dt＝fl（x，y）＋J（t）
dy/dt＝f2（x，y）
dx/dt＝f1（x，y）＋J（t）
dy/dt＝f2（x，y） 其中，x为血糖浓度，y为纯激素浓度，fl与人分别表示x和y的变化率，J（t）是血糖浓度增加的外界速率。 对数据作大样本分析，医学研究人员就能将疾病与人们的生活方式和营养状况联系起来作分析。因此，数据分析使人们有可能对流行病学进行一般性研究。计算机能提供血液和小便的自动分析，借助计算机还能对人的内部器官作断层扫描，从而使医疗诊断发生革命性的变化。不久，人们将能用计算机对病人作简便而又无害的试验，以预测今后十年到二十年内患病的危险。从这些例子我们看到数学方法是诊断疾病的一个可靠的理论工具，并为治疗疾病提供了新的可能性，它在医学的研究中正起着越来越重要作用。 二、数学与技术科学
数学在技术科学中的应用极为广泛，限于篇幅，我们只能象征性地举一些实例。 1.可靠性理论
在一个由若干元、部件组成的系统中，每个元、部件都有一定的寿命。某些元、部件的失效会导致整个系统的失效。为改善系统的可靠性性能，可以采取各种措施（如增设备份、预防性维修、定期更换等）。研究在各种措施下每个系统的概率规律性、可靠性程度、在给定时间内的失效数，以及在给定条件（如投资额、体积、重量等）下应采取怎样的措施使系统可靠性达到最大的数学理论，称为系统的可靠性理论。它的数学研究对象，是反映有关系统寿命的数量指标，以及这些指标间的合理匹配。由于组成系统的每个部件的寿命是随机的，因此，可靠性理论研究的是关于失效（失去完成预定功能的能力）的一类随机现象。 可靠性的数学理论，特别是对系统可靠性的研究，大约开始于40年代初。在第二次世界大战期间，由于复杂的武器系统不断出现，以及电子器件的大量使用，使得可靠性问题变得相当重要。可靠性中最早借助数学方法处理的问题有机器维修和零件更换。例如，第一台电子计算机ENIAC由一万八千多个电子管组成，当时电子管的失效率在10－4/小时左右，因此大约半小时就有一个电子管失效，从而使机器不能正常运行。较早被处理的问题还有材料的疲劳寿命问题和有关的极值理论。 随着科学技术的进步，虽然单个元部件的可靠性不断得到改善，但是各类系统日趋复杂.要求它完成的功能也更加广泛。单个元部件失效引起整个系统失效的代价越来越昂贵，会在经济上、信誉上造成巨大损失，有时还会造成人员伤亡及政治上、心理的严重后果。因此，象大型客机、核电站、宇航系统、军事指挥系统、大型计算机等都要求有极高的可靠性。一个大型系统，如一枚导弹、一颗人造卫星，可能包含成千上万个零件，甚至更多。开关装置或遥测系统失灵，可能使一个人造卫星完全无用。飞机上的着陆装置损坏纵使乘客没有伤亡也会使飞机报废。如何正确估计这种大型系统的可靠性，是个重要的实际问题。按简单的独立假设来计算这种系统的可靠性是不行的。比如系统由1000个零件组成，设其中每个零件的失效都会导致整个系统失效，每个零件的可靠性为0.999（这已相当高了），在独立性的假设下，整个系统的可靠性为0.9991000≤0.37。具有这样的可靠性程度的系统是很不保险的，简直是不可用的。而实际上并非如此。所以，评定和改善系统可靠性的问题越来越引起人们的注意和研究，所涉及的问题也越来越广泛和复杂。例如，80年代以来，由于计算机以及计算机网络可靠性过的重要性，关于网络可靠性的研究成为可靠性理论的中心课题之一；采用可靠性方法，美国研制MZ导弹的发射试验从原来的36次减少到25次，可靠性却从72％提高到93％. 在现代建筑学中，结构可靠性理论主要是解决结构的安全和适用性问题。这个问题之所以比较复杂，主要在于任何一幢建筑物所承受的荷载、所用结构材料的性能、结构的实际尺寸，其量值事先都是不能确定的，具有一定的随机性，或者说它们都是在一定范围内变化的随机变量。而且，在计算上采用的荷载效应和抗力的计算模型也与实际情况存在着差异.由于存在着这些不确定因素，从而使结构能否实现预定功能成为一个随机事件。随机事件的数量关系只能用概率方法进行描述。因此，建筑结构的可靠性理论是在统计数学的基础上建立起来的。 2.编码理论与通讯
被数学家称为"数学中的女皇"的数论，一直被认为是数学中最纯粹的领域。1940年，本世纪最杰出的数论家之一G.H.哈代（Hardy）在《一个数学家的自白》中写道：
"如果我们姑且同意说，有用的知识就是目前或不久的将来可能有助于人类物质生活的知识，唯独不管学术上是否称心如意，那么绝大部分高等数学都是无用的了。近世几何和近世代数，数论，集合论和函数论，相对论，量子力学，其中任何一门学科也不比另一门更能经得起上述考验，任何真正的数学家，其一生的业绩都不可能根据这种理由来说明
"有一个结论是真正的数学家感到坦然无惧的，那就是真正的数学对战争毫无影响。至今还没有人发现有什么火药味的东西是数论或相对论造成的，而且将来很多年看来也不会有人能够发现这些事情。数学，就照我在牛津的说法，是一门'无害而清白的'职业。" 然而没过多久，由狭义相对论得到的一个基本公式E＝mc2（其中E是能量；m是质量；c是真空中的光速）就成为核反应的理论基础，原子弹就是在这一基础上发明的。更出人意料的是，自70年代中期以来，数论竟然成了密码学的中心角色。在一些应用数学领域，纯数学往往至多起一种保证作用，例如给出非构造性的存在定理或唯一性定理，而不是给出可产生实在结果的计算程序或分析程序。实践中使用的程序可能主要是凭直观与经验，而不怎么注意严密性。但在密码学中，数论却提供了实现编码的构造性程序。这一事实使所有的数学家都十分吃惊。 现代社会是信息化的社会，信息的获得、存储与传递都是十分重要的问题，而密码则是一种独特而重要的信息传递方式，其重要性在军事对抗、政治斗争、商业竞争等涉及不同利益的集团的对抗或竞争中是不言而喻的。一方面是有效地在我方内部迅速准确地传递各种信息而不被对方破译，另一方面是寻找破译对方信息的有效方法。因此，密码学的研究一直是世界各国政府和军方特别关注的。此外，密码学在控制论、语言学、分子生物学等领域也有着重要的发展前景。密码学是一门技术科学，主要分为编码技术与破译技术两个方面，相对说来，前者比较发达，后者还很不成熟。 1976年11月，美国斯坦福大学的两位电工学工程师迪费和海尔曼发表论文《密码学的新方向》，用他们提出的陷门单向函数发明了公开密钥码体制。这种函数具有下列性质：
（1）它把任意一个正整数x变为一个特定的正整数y；
（2）它具有把y重新变为x的反函数；
（3）存在着计算正函数和它的反函数的有效算法；
（4）如果只知道函数及其正算法，则仍然不可能求得它的逆算法。 改用精确的数学语言，上述性质可以被叙述为：
定义 把数论函数f（n）叫做陷门单向函数，如果它满足：
①对f（n）的定义域中的每一个n，均存在函数f－l（l），使
f－1（f（n））=f（f－1（n））=n.
②f（n）与f－1（l）都容易计算。
③仅根据已知的计算f（n）的算法，去找出计算f－1（l）的容易算法是非常困难的。 最后一个奇特性质正是该函数命名的依据。这函数就象个陷门，容易陷下去，却很难爬上来。的确，如果不知道陷门的暗钮藏在哪里，那是不可能通过陷门爬上来的。暗钮表?quot;陷门信息"。不知道陷门信息的人是无法从下面打开陷门的，但暗钮隐藏得如此深奥，找到它的可能性实际上为零。利用陷门单向函数，可以构成如下的公开密钥码体制。有一部门，下设A，B，C，……若干机构，务机构均有自己的陷门单向函数，分别为fA（n），fB（n）fC（n），…各函数的算法分别作为各部门的编码（加密）方法而予公开，而诸fA－1（l），fB－l（l），fC－l（l），……的容易算法，作为解密密钥则是保密的。这样，部门中的任一机构（包括部门外的机构），都可给其中的一个机构发保密信。例如，B向A发保密信：设B向A所发的明文为n，代入A所公开的陷门单向函数fA（n），得fA（n）＝m，m即为密文，由于只有A知道fA－1（m）的容易算法，因此，A可由fA－1（m）＝fA－1（fA（n））=0脱密。 另外，部门内的各成员可以彼此发签名信。例如，B给A发签名信，方法是，设明文为n，先用fB－l（l）对n加密得fB－l（n）＝m，再用fA（n）对m加密得fA（m）＝t。A收到t后，由fA－1（t）＝m得fB（m）＝fB（fB－l（n））＝n，即可读到B发出的原信了。因为只有B才能发这样的双重加密信，所以，B的签名是无法伪造的。 迪费和海尔曼在他们的论文中提出了各种各样的、也许可以用于这类密码系统的陷门函数。然而，没有一个是十分理想的。1977年初，美国麻省理工学院（MIT）的计算机学家利维斯特、沙米尔和埃德尔曼设计了用素数来实现公开密钥码体制的巧妙方法，并于同年4月发表了题为"论数字签名和译码钥公开的密码系统"的论文。利用他们所提出的原理设计的密码体制通常称为RSA体制。 传统密码的特质（也可以说是缺点）是，收发双方有相同的加密密钥和相同的解密密钥，而且加密密钥和解密密钥也是相同的，其密钥需要严格保密不能丢失。如果在一通讯系统中有一个联络站被间谍渗入或被敌人占领，则密码的机密可能全盘暴露。而且这种密码系统的密钥数量往往很大，难以分配和管理。另一方面，收方可以修改内容，发方也可以否认所发的内容，双方可能因此发生争执。公开密钥码最重要之处有两点：一是将加密密钥和解密密钥分开。加密密钥可以公开，而解密密钥则严格保密的；二是，这一体制可以发送签了名的消息。因此，公开密钥体制的提出，解除了上述传统密码所产生的困难，这是密码学中的重大突破。公开密钥体制的基本程序是这样的：
（1）收方先告诉发方如何把情报做成密码（敌人也听到了这个做法）。
（2）发方依法发出情报的密码（敌人也听到了这个信号）。
（3）收方解开此密码为原信息（但敌人却解不开此密码）。 RSA体制作为一种实用的、安全可靠而又方便的编码方法的一个关键问题是：能否找到一个具备前面所说性质的函数f（n）。在实际构造这样一个函数时所依据的一个基本原理是：将两个很大的素数（例如两个50位以上的素数）相乘，这很简单；但要从其乘积中确定出这两个素因子来，就非常麻烦了。于是，对于政府和商业上重要的通信来说，这样一种密码方案是否足够安全，那就完全取决于因子分解到底有多大困难了。若知道因子分解在本质上是一个不可解的问题，那就可以放心大胆地采用这种新颖而又方便的密码体制；要是能找到一种非常快的算法，那就必须将这种体制彻底抛掉。与这种密码的安全密切相关的某些问题，在十多年前还被人们认为是没有实际意义的事呢！ 公开钥密码的应用日益广泛，数学家也愈来愈感到有迫切需要将这种密码破掉，由梅克尔和海尔曼当初提出的那种密码方案已经被沙米尔破掉，他在1982年证明，使用整数规划法就可识别出密码信息中的规则，从而就能将密码破译。虽然许多研究者仍然认为因子分解在本质上一个非常困难的问题，但将来有一天，会出现一种革命性因子分解法，也不是完全没有指望的。例如，1990年6月20日，美国宣布，几百名研究人员共同合作用1000台计算机将一个155位数分解成了3个因子的乘积，它们分别是7位、49位和99位数。贝尔实验室称这是数学的一个巨大成就，也是计算机领域的一个突破，使现行密码技术受到严重威胁。 现代密码学中充满了数学：代数学、数论、组合数学、几何学、概率统计以及一些较新的数学分支，如信息论、自动机理论等，都对密码学的发展作出了贡献。近年来，计算机科学（尤其是算法与计算复杂性理论）更对密码学产生了深刻的影响。 近年来在通信事业中发展起一门新的科学--安全技术，包括消息认证和身份验证两个方面。消息认证是检查收到的消息是否真实的一种手段，应用十分广泛，例如证券交易所和股票市场都离不开消息认证，在当今通信事业中，以及军事指挥中心军事监听机构中等都要有很好的消息认证系统，以使受假消息影响的程度为最小。身份验证是检验消息的来源（发信者）是否正确，或者传递的消息是否到达正确目的地（收信者）的方法。例如，如果你拥有一个计算机网络的终端设备，就不但可以随时查到你所需要的资料或信息，而且可以解决许多实际生活中的问题，如预订机票、市场购物、银行转帐等，甚至可以通过计算机网络签署文件。使用计算机网络进行这些活动时，都需要将自己的身份告诉对方。为了使对方能确认你的身份是真实的，就需要相应的身份验证方法。在日常生活中，在信件上签名是很普通的事，但要通过电子通信手段在遥远的异地完成签名就不容易了。这种通过电子通信完成签名的手段称为数字签名。前面介绍的RSA体制就是用来作为数字签名的一种有效方法。数字签名首先是一种消息认证方法，另一方面，在通信双方发生争执时，又可由仲裁者进行公正裁决，因此它又是一种身份验证方法。 在现代通信中，由于设备、技术或其它原因，可能使所传输的信号发生差错，造成混乱或误解。例如，一艘宇宙飞船要将火星表面的复杂图象发送回地球。发回的信息必然混杂着随机的噪声。如果不在信息中注进一定数量的冗余信息，科学家们就无法肯定他们收到的是否为正确的信息。一种办法是重复发送同样的信息，比如重复发送五次，接收者将各次收到的信号作比较，就能准确地猜出原来发出的信息是什么。不过，这时飞船发送信息的速度只有原来的五分之一。过不了多久，它所摄取的图象由于来不及发送出去，就会造成存贮器溢出的现象。我们平时生活中也会碰到同样的问题：电话线可能受到天电的干扰，存贮起来的数据（如银行收支账）可能出现随机性误差，等等。为了使信息传输更为可靠，需要一种数学方法，使得在通讯过程中产生少量差错时可以及时发现和纠正。首先，可用信息论和概率论的知识，辨别出发送的信息可能是什么；其次，可在一种编码方案中选取一些代码来与某个代数结构或组合结构（如一个向量空间或图）的元素相对应；然后即可根据这些结构的数学性质估计纠错能力和代码的传输速度，从而找出有效的代码（纠错码）。例如，当今最为常用的一些代数编码方案就用到n维空间中关于格的几何学性质及其有关的自守形式，或者用到有限几何学以及它们的对称群，或者用到有限域上多项式根的特性。 3.军用技术科学
计算机具有运算速度快、记忆容量大、逻辑判断能力强、计算精度高、自动化程度好等优点，因而从一诞生起就受到了军事家的青睐，被广泛用于预警、指挥、通信、兵器控制、导航、定位、电子对抗、作战模拟和各种保障等方面。由于计算机技术的进步和数节省了成本，提高了设计的质量。这对于武器的研制特别重要，因为若进行具体的试验，不但既费钱又危险，而且在初期阶段实际上是无法办到的。 1990年8月2日，伊拉克入侵科威特，1991年1月16日，以美国为首的多国部队开始了代号"沙漠风暴"的大规模军事行动。人们从电视上看到，"爱国者"导弹拦截"飞毛腿"导弹，多国部队空袭及发射导弹命中伊拉克目标，其准确度都令人惊叹不已，当人们津津乐道于高科技在海湾战争中的成功运用时，往往想象不到，在这场战争中，数学中的许多分支都发挥了至关重要的作用，例如： 控制理论--在导弹制导和瞄准系统中得到了广泛的应用。复杂的数学定理、计算方法和步骤，使多国部队的轰炸周密而又准确。 编码理论--多国部队主要依靠它来处理雷达和卫星所搜索到的信号和有关数据，以作出正确的指令。 密码技术及密码分析--多国部队主要用它来进行通讯联络和编码，同时，依靠它来破译敌方的密码及识别信号。 运筹学--运用这一学科所提供的原理对前、后方的庞大部队和物资装备进行周密的调配，作出统筹安排。美国将大批人员和物资运到位，只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和最优化理论。 计算机指挥系统--海湾战争中，多国部队38天的轰炸行动计划是使用美国空军的计算机系统实施指挥的。开战第一天，这套系统就显示了不凡的身手：指挥协调几个参战国家的20多种、数百架飞机，从几十个机场和航母上起飞，对伊拉克的上千个目标实施了轰炸。正如驻海湾美国空军司令所说："我们有许多电脑，它能够把成千上万微小细节、无线电频率、炸弹类型等等组成一个整体，提供一张同唱一首歌的乐谱。" 海湾战争中，美国还对伊拉克施行了一项前所未闻的作战措施：对巴格达总司令部的计算机中心施放计算机病毒。战争前，伊拉克曾在法国一家公司订购了一种打印机，准备用于军事总指挥部的计算机中心。美国谍报人员得知这笔生意后，将一块带有计算机病毒的集成电路偷偷地装入了伊拉克订购的打印机内。这一行动的目的十分明确：使对方的军事指挥系统在战争打响之后彻底失灵。 4.航空航天科学
复变函数论是在19世纪发展起来的一门数学分支，最初完全是为了解决一些纯数学问题。本世纪初，俄国力学家、数学家儒可夫斯基使用复变函数论中的共形映照方法确定翼型的形状，分析翼型周围空气流动的规律，使飞机设计产生了革命性的变化。 在当代航空航天事业中，数学模型方法已代替了许多实验，因为它在大多数情况下更便宜、更具有通用性、也更安全。例如，当利用风洞设计飞机部件时，为了试验改变形状的同一部件，必须在机械车间建造一个新的模型；而重新设计一个数学模型只要通过键盘打入新的参数就可以了。当今每一种正在飞行的现代化飞机都是这种计算机辅助设计的产物。尤其对那些实验用的或有特殊用途的航空器来说就更是如此，例如航天飞机。如果没有考虑飞行程中的空气动力因素的模拟装置，宇航员驾驶飞机起飞和着陆的训练将是不可能的。这些力是通过在巨型计算机上实时地解空气动力学基本方程计算出来的。在省油的波音767飞机和欧洲空中客车的翼形设计中，用到了一系列门类齐全的应用数学知识：对诸如激波运动、激波与边界层的相互作用之类的新的物理性态的研究；当空气流速从亚音速变为超音速时，将会使非线性偏微分方程组的性质发生变化，对解的新特性需作出解释，并进行计算，求解非线性偏微分方程组的新的解析近似法；有效的数值新方法；将这些方法进行有效的编码和存贮，以便经济地进行设计计算。此外，l8世纪以后发展起来的流体动力学的数学理论和分析方法在设计中发挥了关键作用。 另一个广为人知的例子是人造卫星或火箭的制导。它用伴有对应于重量的系数（即一个数）的空间内某一点来表示，其位置用有关某一固定坐标轴的三个数来表示。进行观测的时间可以用时钟来计算（又一个数）。发射的火箭受到地球、月球、太阳，有时还有其它行星重力的影响。在模型中，这些力用向量表示，它们的各个成分规定为火箭坐标的函数。要确定其运动，按数学模型把运动力学定律译成常微分方程来求解。本世纪中叶以来，由于一批数学家对变分法作了重大的推广，导致了最优控制理论的发展。R.E.卡尔曼（Kalman）的一个关键性的革新改变了引入矩阵黎卡提方程进行滤波的规范作法。应用卡尔曼滤波法的最优控制在阿波罗飞船的导航和控制中发挥了关键作用。如今，民航客机的驾驶员甚至不用触摸驾驶杆就可让飞机着陆。飞机的速度和方位等数据自动地输入卡尔曼－布西滤波器，这种仪器在驾驶飞机的时候，能不断地用"最小二乘法"作出"最佳的拟合"，从而求出牛顿物理学定律的一次近似值。类似的"状态滤波器"能为火箭和空间探测器导航，并对卫星作追踪。这些卫星和火箭将重要的图象发射回到地球，经过计算机的"谱分析"，图象就会更加醒目和清晰。 5.地质勘探
石油勘探是数学取得重大经济效益的应用场所之一，例如，1991年5月，美国壳牌石油公司应用计算技术探明了一个储量超过十亿桶的大油田。数学正广泛应用于碳氢化合物的勘探与生产之中。由于石油的定位以及测定其移动的较复杂技术已被发展，数学模型正起着比以前更大的作用。数学结果以最基本的方式用来从混杂信号中提取原始信号。关于逆扩散的现代理论正在成为这个领域的基本工具。当具有出现石油潜在可能的大面积区域一旦确定之后，人们必须寻找有可能阻挡碳氢化合物迁移的局部地质特征。而这种迁移在多孔砂石结构中发生。典型的油阱例子是起因于地层的错位与皱折，或者夹杂着象盐穹那样不可渗透的物质。在可能发现这种油阱的区域，通常进行大范围的地震勘探法，一系列震动或小的爆炸将波（纵向、切向，等等）穿过地下，由于不同的地层或纵向的不连续性，这些波被反射或折射并最终为一系列接收器记录下来。通过记录下来的反射来确定地层结构以及地层和滞留流体的性质的数学反问题是极端困难的问题之一。这里有确定唯一解的重大问题以及噪声数据和测量误差问题。信号处理技巧例如数据的滤波、迁移，以及信号重叠问题已明显地取得成功。但是，数学界必须帮助提供更多的信息，例如1）怎样的震源及接收器的位置将给出较好的、更能信赖的数据，2）给出连续依赖数据益的估计后，我们实际上能希望得到怎样的信息，3）非唯一问题能否事定理表示。各种各样的工具，从积分方程的解到各种变换方法到声波方程的数值模型均被应用，而更多的数学技巧正在不断考虑以解决这些复杂问题。 有关的历史可以追溯到大约1950年左右，当时，美国数学家维纳和华兹沃斯在几次随便的交谈中发现，数学中的时间序列对石油的地震勘探可能是有用的，他们根据这种新的方法，使用手摇计算机分析从地层反射回来的声音信号，这种方法经过华兹沃斯、勃吕扬、鲁宾逊、赫利等人的发展，已经成为现代石油勘探的标准手段。如今人们通过人工地震记录下反射回来的地震波，波形随着地层地质的不同而变化。用计算机处理所得的波形数据可以提供地下岩层、岩性以及有关石油、天然气等的知识。说来有趣：美国麻省理工学院地质系在这方面所作的应用性研究曾经得到了二十家厂商的资助，而在同一所大学中进行的使这种应用成为可能的纯数学研究，工业界却谁也不愿去过问，尽管这种数学研究曾在这么短暂的时间里取得如此重要的成果！事实上，当初取得这项数学成就的时候，人们连做梦也没有想到它会有这一方面的应用 6.一般工业技术中的数学问题
早在1949年在美国就出现了工业数学会的学术组织并出版了半年刊"工业数学"。1952年，美国成立了工业与应用数学学会。但工业数学这一名词的真正流行、愈来愈受到人们的重视却是近二十多年的事情；由于电子计算机（高速、小型、智能、价廉）的迅速发展提供了一种强大的技术工具，也为数学渗透到一切领域创造了条件，更可以为工业的发展大显身手。70年代以来，美国已有不少大学和国家实验室开展了工业数学的研究，许多科技中心的建立与数学在工业中的应用也有着密切关系，例如1988年在美国建立的微生物生态学中心、暴风雨分析和预报中心、平行计算研究中心、离散数学和理论计算机科学研究中心等，正如美国国家科学基金会主任巴布罗克（Bloch）指出的，建立这些研究中心的好处将是"从实际发现到应用之间所需要的时间将大大缩短。为使我国有能力在世界市场上竞争，知识的快速转化是决定性的"。 在欧洲，1968年，英国成立了以牛津大学数学研究所的成员为主的"牛津工业问题研究小组"此后这个小组的活动日益壮大，受到工业部门的广泛欢迎。由于欧洲的国家都比较小，工业门类及研究水平较高的数学分支不可能很齐全，产生了联合起来培养人才的要求，1987年成立了欧洲工业数学联合会，以便推动数学模型在工业中的运用、培养"工业数学家"和"以欧洲规模来进行工作"。 数学在工业技术领域的应用不胜枚举，例如，自动生产线的设计；连续铸造的控制；煤的管道输送；发动机中汽轮机构件的排列；燃烧规律的计算与有效燃烧室的设计；道路选线；半导体集成电路块的设计；核聚变反应堆的设计；数学船型、汽车外型、飞机外型设计等等。 让我们看一个具体的例子：对于现代时钟机构中的齿轮来说，其动力学行为不那么重要而能量消耗却起着重要的作用。日期显示器就是一个例子。为在一小段时间内能产生高的角速度需要一对均匀驱动的齿轮。解决问题的技术想法是取一个固定的偏心圆周齿轮。若给定两个齿轮中心间的距离，滚动条件导致依赖于这个距离的一个微分方程。把该距离看作控制参数，若两个齿轮在相同时间内完成了一个旋转，则该参数取正确值。使摩擦达到最小的要求导致一个变分问题，这时齿轮的齿形必须设计成使摩擦能泛函取极小。该微分方程的数值解法需要应用边值问题解的现代概念，计算得到的齿形与传统的渐开线齿轮系统的齿形很不相同。 随着各种更加有效的解析方法和数值方法的出现，同时使用计算机的费用更为低廉，数学在工业设计中将发挥更加重要的作用。人们越来越认识到，数学科学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术，在经济竞争中它是必不可少的。 三、数学与艺术 数学与艺术的相互关系是一个太大而又太难的课题，我们只选取音乐和绘画中的少量问题作初步的介绍。 1.音乐
近代著名哲学家、数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）曾说："音乐一一这是心灵的欢乐，而心灵不知不觉地进行着计算。"在音乐史上，探求音乐与数学之间的关系，是一个十分古老的话题。
（1）古希腊：毕达哥拉斯学派与"五度相生律"
毕达哥拉斯学派认为音乐是数学的一部分。据认为，毕达哥拉斯发现数是音乐和谐的基础。例如，当一根弦被缩短到原长度的一半，拨动时发出的音调就与原来的音调构成一个8度音程。类似地，如果比率是3：2和4：3，对应的则是5度和4度音程。他们把音程分为协和音程与不协和音程两种：八度、五度、四度是协和音程，其它一切音程，包括三度和六度，都是不协和音程。毕达哥拉斯学派认为人和声就是由这样一些不同的部分组成的整体。和声由各种数值比组成，于是，从某种意义上说，正是各种事物的数值比确定它们各是什么并显示彼此的关系。基于这种思想，毕达哥拉斯学派发明了"五度相生法"，由此引出了音阶的各级音，构成著名毕达哥拉斯音列。该音列中所有的音都是由纯五度音程的关系连续依次推演而出，因此，所产生的律制也称为"五度相生律"，在世界律学史上有很大影响。
（2）中国古代：三分损益法与朱载堉的十二平均律
①三分损益法
三分损益法是中国古代采用数学运算研究乐律的方法，即确定乐音体系中各音的绝对高度及其相互关系的乐律理论，在相传为春秋时管仲所作的《管子·地员》中已有对这种方法的明确记载，其方法是："凡将起五音，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有人，为徵。不无有三分而去其乘，适足以生商。有三分而复于其所以是生羽。有三分去其乘，适足以是生角。"也就是说：
1×34＝9×9＝81＝宫，
81×4/3＝108＝徵（由宫益其三分之一而得），
108×2/3＝72＝商（由徵损其三分之一而得），
72×4/3＝96＝羽（由商益其三分之一而得），
96×2/3＝64＝角（由羽损其三分之一而得）。
由此奠定了中国古代五声音阶的基础。 ②朱载堉与十二平均律
明代朱载堉（1536－1611）用数学方法研究十二平均律，其主要理论载于他的《律吕精义·内篇》，所得结果为：
上述所有的数学运算都是计算到25位数字，其计算精确度达到了惊人的地步 （3）近代音律理论的发展
由毕达哥拉斯的信徒开端的数学和乐声的整个主题为欧洲中世纪的音乐家所继承，到15世纪进入欧洲律学史上的纯律时期。意大利数学家，天文学家罗西（L.Rossi，1602－1753）在五度音列的递减上作过改进；荷兰数学家、物理学家惠更斯（G.Huygens，1629－1695）根据大半音分为三律的原理，提出了"三十一平均律"；比利时数学家、地理学家麦卡托（G.Mercator，1521－2594）提出了"五十三平均律。" 在18世纪，声学主要是由音乐家和数学家研究的，直到19世纪声学才成为物理学的一个正式分支。由于声学和音乐中提出的问题，导致18世纪不少数学家致力于常微分方程和偏微分方程等新兴学科的研究。泰勒（B.Taylor，1685－1731）在确定振动弦的形状问题时首先引入了二阶常微分方程，导出了一根伸张的振动弦的基频。 1731年，欧拉（L.Euler，1707－1783）写出了《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理论的新颖研究》。约在1733年，丹尼尔·伯努利（D.Bernoulli，1700－1782）；在《关于用柔软细绳联结起来的一些物体以及垂直悬挂的链线的振动原理》一文中研究了上端固定的悬链线，没有重量，但带着等间隔的重荷。当链线振动时，他发现：质点系相对于通过悬挂点的垂线作不同模式的（小）振动。这些模式中的每一个都有各自的特征频率。他说，"从这个理论推导出符合于泰勒和我父亲建立的音乐弦理论将是不困难的。……实验表明：在音乐弦中存在着类似于振动链的交点（结点）。" 由于把振动弦的位移分别作为时间的函数以及作为一个端点到弦上一点的距离的函数来进行研究，于是把位移作为这两个变量的函数来研究并试图了解所有可能的运动就导致了一个偏微分方程。这一研究的自然继续，即考察弦发出的声音在空气中的传播，导出了又一些偏微分方程。在此基础上，数学家们处理了各种形状的号角、管风琴、铃、鼓和其它乐器发出的声音。18世纪50－70年代，有关以小提琴弦为典型的弦振动问题引起了一场大争论，包括欧拉、达朗贝尔（d'Alembert）、丹尼尔·伯努利、拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）等在内的当时一批最杰出的数学家参加了争论，问题最终直到19世纪才由傅立叶（Fourier）以他著名的级数所解决，导致了偏微分方程的第一次真正的成功。 （4）现代：计算机音乐
乐器千变万化，原理是一个--弹性介质的振动。由振动产生的声波并非随心所欲，琴弦、吹管的空气柱、锣鼓面的性质决定了振动产生的基频和泛音列，即我们听到的音高，与乐器构造和演奏方式相对应的泛音相对变化又决定了我们听到的音色。如想更精确地讨论，人们还可写出相应的波动方程、边界条件、初始条件并找出方程的解。实际上，任何乐器均不能超越其构造特性，超越它所遵从的波动方程及其解的限制。 随着电子技术的进步，电子音乐发展了起来。电子音乐凭借的是一系列电子振荡器提供的基本波列，再经过滤波、放大、调制等手段进行合成。它突破了具体乐器的限制，不再受波动方程的约束，从而大大扩大了音响范围。不过，不管多复杂的电子乐器，其组合的可能性仍然是有限的，在制造这种电子乐器时已对其作了限定。正因为如此，科学家与音乐家仍感到不满足，计算机技术的发展给他们带来的希望。借助计算机产生的音响，既不受乐器构造的束缚，也不受事先给定的电子振荡器的限制。在计算机的帮助下，人们可以得到所希望的任何音高和音色的声响，于是计算机音响技术应运而生。它的基本原理是借助数学处理方法给出所需声波的数学描述，再将其转化为声波。具体步骤是：首先，根据特定需要（模仿或创造），用计算机给出所需波形及其随时间的变化。若原始波形要从外部声源输入，则需进行模－数转换。其次，对表示所需波形的时间函数进行等间隔的数字采样。第三，用采样数字控制电脉冲振幅，产生相应的电脉冲序列（数－模转换）。最后，让电脉冲通过低通滤波器，还原成给定波形的电讯号直接驱动扬声器。在计算机音响的基础上又发展出计算机作曲，其基本思想是把音乐看作乐符的某种组合与变换，首先将约束条件（理论规则、要求的特点）输入计算机，再让它依此进行音响组合。 2.绘画、雕塑
（1）透视学
15世纪，艺术家们意识到，用线条或色彩在二维的画面上真实地再现三维的现实世界，必须依据几何学原理才能实现。通过对古希腊、罗马学者创造的透视理论的研究，他们获得了解决这一问题的较明确的方向，由此创立了数学透视学，以便运用几何学的原理和方法把三维的现实世界真实地再现在二维的画面上。当时许多著名的艺术家如阿尔伯提（L.B.Alberti，1404－1472）、弗朗西斯科（P.Francesca，约1410－1492）、迪勒（A.Dǜrer，1471－1528）、乌巴尔迪（G.Ubaldi）等都写过这方面的著作。
1435年，阿尔伯提完成了《论绘画》一书（出版于1511年），其中提出的原理成了后世的艺术家们所采用并加以完善的透视法的数学体系的基础。尽管阿尔伯提清楚地知道在正常的视觉下，两只眼睛从稍有不同的位置看同一景物，只有通过大脑调和这两个映象才能觉察深度和距离，但是他建议画一只眼睛所看到的景物。他的计划是通过光线的明暗和随距离而使颜色变淡的方法来加强深度的感觉。他的基本原理可以解释如下：
想象在眼睛与景物之间插入一张直立的透明屏板，视线从眼睛出发射到景物本身的每一个点上，他把这些线叫做光束棱锥或投影线。设想在这些线穿过透明屏板（画面）之处都将相应的点标出，他把这些点的全体叫做一个截景，重要的事实是，截景给眼睛的印象与景物本身一样，因为从截景发出的光线与从原景物发出的一样。所以要作出一幅逼真的画，相当于在上述透明屏板上（实际是在画布上）作出一个真正的截景。当然这个截景依赖于眼睛的位置和屏板的位置，这就是说对同一景物可以作出不同的画。 当然，真正的绘画过程远非如此简单，画家实际上画出的也不是一只眼睛所看到的景物，因此就必须有一些建立在数学理论上的基本法则，以便给画家以实际的指导。 阿尔伯提还提出了一个重要问题。一个显然的事实是，如果在眼睛和景物之间插入两张位置不同的屏板，则在它们上面的截景将是不同的。进一步，如果眼睛从两个不同的位置看同一景物，而在每一种情形下都在眼睛和景物之间插入一张透明屏板，那么所得截景也将是不同的。可是所有这些截景都是由同一景物获得的，都在一定程度上表现了原来的景物，所以它们之间必定有某种共性。阿尔伯提提出的问题就是：任意两个这样的截景之间有什么数学关系，或者，它们有什么共同的数学性质？这个问题是射影几何学发展的出发点。 （2）文艺复兴时代的木工镶嵌术
木工镶嵌术是用木料来制作镶嵌图案的艺术，它是15世纪下半叶和16世纪头25年中的一个主要的艺术现象。在15世纪中叶，它由作为建筑物边缘装饰品的一种手艺成为一种卓越的几何艺术。木工镶嵌板常常用透视法描绘出街道风景或复杂建筑结构（真实或想象的），其情景就象是通过一扇开着的窗户去看它们一样。许多镶嵌板栩栩如生地刻划出半开的柜橱中所装的东西。实际上每块板的图案都是一种三维图景的错觉，而这种错觉是通过运用几何学上的规律而造成的。木工镶嵌术从一开始就要求对实用几何学要有细微深入的理解，还要求有精确的测量方法，以切削和装配那些构成最终成品并使其具备特有的深度、阴影和纹理的木片。然而，只有在直线透视理论得到发展和整理的情况下，木工镶嵌匠们才能产生对幻觉表示法的兴趣，也才能创造出那个时期中最令人信服的幻觉艺术。 （3）现代绘画
本世纪初以来，西方出现了一系列深受数学思想、方法影响的美术流派。例如，以毕加索（1881－1973）等人为代表的立体主义，把自然物体形象分解为几何切面，并相互重叠，加以主观的重新组合，又发展到在一个画面上同时表现几个不同方面：以康定斯基（1866－1944，俄）等人为代表的抽象主义，明确提出要对绘画作数学的分析与处理，在画面上作几何形体的组合或抽象的色彩与线条的组合；以塔特林（1885－19556，俄）等人为代表的结构主义，利用几何图形构成抽象的造型。康定斯基在《关于形式问题》一文中指出："今天，在探索抽象关系的过程中，数的作用尤其突出。每一条数学公式都是冷酷无情的，俨如一座冰峰；并且作为最严密的必然规律，它又仿佛是一块大理石。……由于企图找到一种公式来表现构图，产生了所谓的'立体主义'。……立体主义者们在构图方面所作的努力，直接产生于创作纯粹抽象绘画的需要；这种绘画一方面通过客观因素来表现客观对象，另一方面则通过或多或少的具有共鸣的对象的不同组合，最终转化为纯粹的抽象绘画。1979年，美国数学家D.R.霍夫施塔特（Hofstadter）以他的《哥德尔，埃舍尔，巴赫：一条永恒的金带》一书轰动了美国。K.哥德尔（Gǒde1，1906－1978）是本世纪最伟大的数学家之一，也是亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大的逻辑学家。哥德尔的论改变了数学发展的进程，触动了人类思维的深层结构，并且渗透到音乐、美术、计算机和人工智能等领域。M.C.埃舍尔（Escher，1898－1971）是当代杰出画家，他的一系列富有智慧的作晶体现了奇妙的悖论、错觉或者双重含义。J.S.巴赫（Bach，1685－1750）是最负盛名的古典音乐大师。这本书揭示了数理逻辑、绘画、音乐等领域之间深刻的共同规律，似乎有一条永恒的金带把这些表面上大相径庭的领域联结在一起。 1983年，L.D.亨德森（Henderson）出版了他的《现代艺术中的四维空间与非欧几何》一书。全书500多页，剖析了现代绘画、雕塑艺术等受高维空间、非欧几何的启发而发展的历程。 （4）计算机美术
如今三维电脑动画已经变得十分普通，其理论基础首先是数学。一般说来，用计算机产生美术图形的基本步骤是：①读入一个传统美术图形库。②利用艺术家的预编程序的规则，使计算机随机操纵库中的数据，以产生美术图形。③产生输出，把图形显示在一个图形显示终端上。④为艺术家提供一种选择，允许对计算机产生的美术图形作特定的变动或转换。这种类型的试验可以产生出艺术家和计算机的联合作品，艺术家或计算机都无法单独产生这种作品。 以分形几何学为理论基础的计算机图象学可以展示形态逼真、充满魅力的分形图案，如分形山脉、分形海岸线、分形云彩、分形湖泊、分形树林，其技艺之高超，连大师们也叹为观止。艺术精英荟萃的好莱坞电影界，对分形艺术也另眼相待，特技行业已率先采用分形图象。享誉世界的卢卡斯电影有限公司聘请了一个很有实力的计算机制图集团，利用分形技术制造了电影《星球旅行Ⅰ》?quot;创世纪"的一段场面和《杰迪的归来》中安陀（Endo）围绕月亮的力场。面对分形艺术的巨大冲击，一些美术学院的教授也不得不在教案中编入几段分形的内容。 在康奈尔大学数学系，面对大量索取曼德尔布罗特集图片的商业信件，数学家哈伯德J.Hubbard）意识到必须准备样品和价目表了。几十种图形已经算好并存储在他的计算机里面，随时可以显示出来。然而，具有最细分辨率和最生动色彩的最壮观的图片，来自两位德国人：数学家派特根（H.0.Peitgen）和物理学家里希特（P.Richter）。对他们来说，与曼德尔布罗特集有关的研究及艺术创造体现了众多想法：一种现代艺术哲学，实验在数学中新作用的一种明证，一种向广大公众介绍复杂系统的方法。他们出售幻灯片，大张透明片，甚至曼德尔布罗特集挂历，出版漂亮的目录和书籍，带着他们的计算机图形在世界上作巡回展览。派特根的《分形之美妙》和《分形图象的科学》两本充满精美图画的著作不仅给他带来了巨大的声誉，也带来了可观的收入。曼德尔布罗特本人也以分形艺术与科学和工业相互渗透的应征文章赢得1988年度的"科学为艺术奖"。该奖由世界著名的法国埃尼诗－维通集团所颁发，目的是激励"美学创造力伸展到科学技术领域中"，"促进艺术、科学与工业界之间的相互渗透上的重大科学创?quot;。可以肯定，分形图形将对绘画、雕塑、建筑设计、印染工业、装璜和广告设计等产生深远的影响。 四、数学与人文、社会科学 从历史上看，虽然人类在最初的社会活动中就需要简单的数学知识，如丈量土地、计算收成、商品交换、税收、摊派徭役、军队的后勤补给、政府的行政支出等，但是真正在人文、社会科学中明确地使用数学方法进行研究却是很晚的事情，其中以经济学最早，其标志是英国经济学家威廉·配第（1623－1687）死后出版的著作《政治算术》（1690）。配第的工作与另一英国学者格朗特（1620－1674）的工作一起构成了在经济学史与统计学史上影响十分深远的政治算术学派的开端。除经济学之外，19世纪中后期在少数历史学（主要是经济史）著作中也开始使用简单的数学（主要是统计学）方法，同一时期，一些数学家和语言学家提出在语言学的研究中可以使用数学方法，并运用一些简单的数学（主要是统计学）方法进行了少量实际研究。其它人文、社会学科中明确使用数学方法就基本上都是本世纪以来的事了。 数学方法进入人文、社会科学后，很快就显示出巨大的威力，并逐渐加快了相应学科数学化的进程。1971年，美国哈佛大学的卡尔·多伊奇发表一项研究报告，列举了1900－1965年间世界范围内社会科学方面的62项重大成就，包括心理学13项，经济学12项，政治学11项，数学11项，社会学7项，哲学、逻辑和科学史5项，人类学3项，其中数学化的定量研究占2/3，这些定量研究申的5/6又是在1930年以后作出的。这表明了当代社会科学向数学化、定量化方向发展的趋势。马克思在100多年前就指出："一门科学只有在成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步。"看来当代社会科学的发展已经开始进入这个阶段了。因此，美国著名社会学家和未来学家丹尼尔·贝尔（Daneil Bell）在他的权威性论著《第二次世界大战以来的社会科学》（1979－1980年发表）中认为，社会科学的"理论不再仅仅停留在观念和咬文嚼字上，而成了可以用经验的和可验证的形式来表达的命题。社会科学正在变成象自然科学那样的'硬科学'。"现在人们公认数学在管理科学和运筹学这些实际社会事务中有广泛的应用，在现代社会科学的主要工具统计理论中包括许多相当高深的数学内容。数学在经济学中的应用，产生了包括数理经济学、经济计量学、经济控制论、经济预测、经济信息等分支的数量经济学科群，以致一些西方学者认为：当代的经济学实际上已成为应用数学的一个分支。从总体上看，一个数学社会科学的庞大体系已基本上建立起来了。 1.经济学
目前，在传统的社会科学领域中，经济学是最成功地实现数学化的学科，其成就令人瞩目。正如现代计算机之父，数学家、数理经济学家冯·诺伊曼（von Neumann）所料，经济现象最复杂，它要用的数学理论也最高深，因为越是抽象的数学工具越适于分析实际上十分复杂的事物。 1969年，第一个诺贝尔经济学奖授予R.弗利什（Frisch）和J.廷伯根（Tinbergen），"因为研制和应用了某些动态模型来分析经济过程"，亦即这次诺贝尔奖是为数学对经济学的应用而颁发的。在1969－1981年的13次诺贝尔经济学奖中，有8次是为成功地将数学方法运用于经济学研究领域的工作而颁发的。在此之后，诺贝尔经济学奖中数学工作所占的比例有增无减，例如，1993年的诺贝尔经济奖授予美国的罗伯特·福格尔和道格拉斯·诺思，以表彰他们首先运用现代数据分析、数学模型和计算机来研究过去的经济发展过程以及它们对未来世界的影响。这一研究证明了稳定的制度对于经济增长的重要性。瑞典皇家科学院称他们为"新经济历史领域的主要代表人物"。在此之前经济历史的研究与普通历史的研究一样，主要依靠历史文件和其它资料，而他们开创性地运用现代数据方法来重新评价经济历史，使这个研究领域面貌焕然一新。1994年的诺贝尔经济学奖授予匈牙利裔美国科学家J.豪尔绍尼（Harsanyi）、德国经济学家R.泽尔滕（Selten）和美国科学家J.纳什（Nash），以表彰他们"对非合作性对策论中平衡的开拓性分析"。值得指出的是，泽尔滕是一位数学造诣颇深的经济学家，他以大量公式和方程描述了对策论对处理冲突的意义；纳什则是一位数学家，他于1950年在普林斯顿大学获得博士学位后，－直在该校从事教学和研究工作，在策略运筹学和纯梓数学方面都有一定贡献。 现代经济计量学的核心问题是建立经济计量模型。它以一定的经济理论为背景，利用数理经济学中的研究成果，列出一系列描述经济行为的数学方程，然后又根据实际的经济统计资料，通过使用现代数理统计方法对方程组中的未知参数进行估计，从而建立起描述经济活动的经济计量模型。 现代数量经济学研究数学概念和数学技巧对经济，特别是对经济理论的各种应用，其中一些基本问题是从经济学中提出的，但深入研究则是从数学的角度进行的。其核心内容之一是用一种规范化的方法研究瓦尔拉斯（M.E.L.Walras，1834－1910）创立的一般均衡理论，使用的数学工具主要是集合论、群论、拓扑学，其学术文献完全是公理化的。它从一套公设、假定、定义出发，导出一套非常严谨的公理化体系。数理经济学是主要进行定性分析的理论经济学。它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论。 在早期发展起来的有关消费者和生产者行为的理论中，古典的拉格朗日乘数技巧曾在局部最优化的检验中居支配的地位。这项工作可以追溯到30年代和40年代。在这段时期中，希克斯（Hicks）和塞缪尔逊（Samuelson）利用微积分学一方面来探讨平衡的稳定性，另一方面对被称为比较静力学的灵敏度进行分析，一方面来探讨平衡的稳定性，另一方面对被称为比较静力学的灵敏度进行分析，因而将瓦尔拉斯（Walras）一般平衡结构的领域向前推进一步。平衡理论的这两个方面奠定了瓦尔拉斯平衡理论中可以预言的组成部分的基础。 在第二次世界大战期间，由于冯·诺伊曼（Von Neumann）、摩根斯特恩（Morgenstern）、库普曼斯（Koopmans）和丹齐克（Dantzig）等人努力的结果，经济学中数学方法的焦点从微积分学转移到对策论和线性规划上面去（至于坎特罗维奇（Kantorovich）本人对线性规划所作的贡献则要过了很长的一段时间才被承认）。在50年代数学经济学家的著作中，集合论和拓扑学的工具占据了支配的地位，从而导致了瓦尔拉斯完全竞争的模型的基本性质：平衡的存在性以及按照帕累托（Pareto）准则的平衡的福利性质。在这段时期中，经济学理论上的需要也部分地促进了非线性规划和动态规划的发展。微分方法仍然可以被用来研究平衡的唯一性、稳定性和比较静力学的性质。 经济学思考的一个核心问题是如何分配紧缺的资源，使它在既充满相互竞争、要求又无法满足的情况下能够达到目的。如何运用数学工具来分析"什么是最佳方案"的问题，是经济学理论的一个焦点。经济学家们一直应用数学上各种各样的技巧来探讨这个十分重要的问题。例如，福利经济学试图在平衡条件下确定对产品与服务作最佳分配。著名的帕累托定理规定，当至少有一个人生活得更好而没有一个人生活得更差时，这种分配就可以被认为比原来的分配更优。这里用到了对策论：在二人或二人以上的对策中，如果一个人赢就会有另外的人输，就是"零和对策"；如果人人都赢而没有人输，就是"非零和对策"。福利经济学就是要利用非零和对策理论。技术一直在不断更新，使理论可以得到发展，新发现的数学方法又可以得到应用。微积分学、集合论、拓扑学、实凸分析以及概率论，在用数学方式表达经济理论方面都起了重要的作用。 德布勒（Debreu）于1970年在经济学中引进了微分拓扑学的技巧。他证明如何应用需求的可微性来表明"多数的"（即正则的）经济仅有有限个平衡。微积分学的这个新用途超越了30年代和40年代的方法。德布勒在50年代的研究工作产生了一定的影响，使作为一个重要工具的微积分学朝着有利于凸分析的方向转移。有趣的是，到了70年代德布勒又在返回到有利于微积分学的方向上起了主要的影响。 自第二次世界大战以来，经济学的理论越来越倾向于数学。经济学发现字形形色色的非线性问题，使得有数学倾向的经济学家们既成为各式各样数学领域的使用者，又成为它们的提供者。到了今天，高层次的经济学期刊中经常可以见到论文中应用到微分拓扑学、泛函分析（包括线性的和非线性的理论）以及随机过程的地方。这样一来，在越来越专门化的时代里产生了一个如何使两个专业之间所存在的交流上的鸿沟得以连接的问题。 阿罗不可能性定理：1950年，K.J.阿罗发现不可能性定理，1952年在一次学术会议上正式提出，1972年为此获诺贝尔经济学奖。这一定理的主要思想是：
我们社会中的每个人对各种事物都有自己的偏好。由于信息获取的差别和利益的矛盾，我们每个人的偏好一般不是完全一样的，因此，如何把有差别的个人偏好汇集成一个最终的社会偏好，就成为至关重要的社会选择问题了。在现代民主社会中，社会选择的方法一般有两种，即投票表决和市场机制（货币投票）。人们通常依据常识认为，社会选择的方法理应满足如下条件：
（1）广泛性。个人对备选方案的所有逻辑上可能的偏好排序都是许可的，且人的理性选择具有完全性和传递性。
（2）一致性。若社会所有成员都认为一种备选方案优于另一种，那么社会即应同样如此认为。
（3）独立性。比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两名候选人的偏好序不应受新添候选人的影响。
（4）非独裁性。即不应使单个人的偏好总是自动地成为社会偏好，而不管其他人的偏好与他是如何地不同。 上述条件似乎是那样自然而合情合理，以致人们常把它们当成社会选择方法应该满足的不言而喻的公理。但是，阿罗却证明，不存在任何一种社会选择方法能同时满足上述四个条件。这就是著名的"阿罗不可能性定理"，亦称"独裁定理"。 阿罗不可能性定理至少给我们两方面的启示： 一是社会民主问题。不可能性定理告诉我们，"少数服从多数"的社会选择方法也不满足上述四条公理。因此，我们不能把民主简单地理解为少数服从多数原则。为了发扬民主，必须进行更精心缜密的思考与设计。阿罗定理还告诉我们，民主并不象卢梭理解的那样能够达到"公意"，而是象波普尔理解的那样能够防止"最坏"的情况发生，从而严格论证了民主的功能究竟何在。 二是市场机制问题。市场是用货币投票的社会选择方法，阿罗认为，不可能性定理表明"市场不能做出合理的社会选择。"这启发我们，为了克服市场自身无法克服的缺陷，应积极探索企业与政府之间的多种有效的联系，特别是政府在市场经济中的宏观调控作用。
此外，阿罗不可能性定理对于国家主权、法律和国际关系的研究，乃至对于系统工程和多目标规划的研，都已经发挥和正在发挥着重大影响。 2.政治学
（1）政治系统研究
本世纪中叶以来，西方出现了许多运用系统分析方法或结构功能分析方法研究各种政治系统的论著。1957年，美国政治学家莫顿·A.卡普兰（Morton A.Kaplan）在他的《国际政治的系统和过程》一书中运用系统论、对策论和数学模型方法研究国际政治。他在前言中指出： "本书试图从理论的角度来系统地分析国际政治。因而，它是近来学术界想把大量资料整理为一套相对有序的命题的一系列努力的一部分。" "严格地讲，一种理论应包括一套基本术语、定义和公理，在这个基础上，推导出成体系的定理。这些定理应该具有逻辑上的一致性。最终得出的定理或命题的解释应该使其中的术语都能有一个明确的经验依据。最后，这些定理应当能够被有控实验或系统观所驳倒或所证实。如果从这种严格意义上来解释'理论'，那么本书还构不成一种理论。" "如果放松对于理论的某些要求，不要求体系的完整性，不要求逻辑上的一致性，不要求对术语作出明确解释并用实验室的方法来证实，那么本书就是一种理论，或者至少包含着一种理论。这种理论可以看作是国际政治的雏形理论或者是引玉之砖。" 从上述引文不难看出，作者实际上是仿照数学公理化的思想与方法来研究国际政治系统的，虽然在国际政治的演变与发展过程中存在着许多偶然的及人为的因素，因而无法满足数学公理化的一致性等方面的要求。 1973年，法国政治学家莫里斯·迪韦尔热（Maurice Duverger）在《政治社会学一一政治学要素》一书中运用社会学中的一些概念和方法，从社会现象的总体中去考察、比较、分析各种政治现象，并试图把现代数学和控制论的研究方法渗透到社会科学中去。作者认为，社会科学比自然科学发展缓慢，但迟早也要走上共同的发展道路，遵循共同的规律，即从描述阶段到归纳阶段，到推理阶段，最后到公理阶段。他说："极有可能的是，社会科学将日益走上数学分析途径，再过几十年将走上形式化道路，而这种方向部分地决定了社会科学的进展。 （2）冲突与合作策略
各种冲突、对抗、竞争广泛存在于政治、商业、军事、体育比赛等各项事务之中。对策论是运筹学的重要分支，最早研究的问题是对抗或竞争中的各方所应采取的策略以及由此得到的结果，并给出策略优劣的分析。研究方法是：先构造出所论冲突的数学模型，然后用数学方法加以分析、比较、计算，根据所得结果对原来所论冲突作出相应的解释。对策论诞生于1927年，由大数学家冯·诺伊曼创立。冯·诺伊曼认识到经济与政治中的某些决策条件在数学上与某些策略对策等价，所以从分析这些对策中所学到的东西可以直接应用于现实生活中的决策。 一个典型问题是1948年《美国数学月刊》提出的。甲、乙、丙三人参加一个掷镖游戏，每人各持一气球，只要气球不破，就可以继续参赛，优胜者属于唯一保持气球完好的参赛者。每轮投掷中参赛者都以抽签决定掷镖顺序，然后依次投掷一支飞镖。已知甲的命中率为80％；乙的命中率为60％；丙的命中率为40％。每位参赛者应采用什么策略？
答案似乎很明显：每位参赛者都应当把目标对准较强对手的气球，因为如果把它击中，他所要面对的只是较弱的对手。然而如果3位参赛者全都采用这种切合实际的策略，概率计算将显示，最差的选手丙取胜的机会最大（37％）。而最好的选手甲获胜的机会最低，为30％。乙的获胜机会也只有33％。 问题就在于，甲和乙互相拼斗时，丙几乎不受到任何威胁。于是，对于甲和乙来说，最佳策略是在除掉丙之前彼此不进行争斗，而丙的最佳对抗策略仍然是把镖掷向较强的对手甲。这样一来，甲和乙获胜的机会分别增加到44％和46.5％，而丙获胜的机会则戏剧性地下降到9.1％，然而这种局面可能是不稳定的。因为它需要甲与乙合作。虽然甲是最佳选手，但他还没有取胜的最佳机会，他可能想欺骗乙。但是如果他不能用欺骗的飞镖把乙击败，乙就可能回击，三人的获胜机会将再次发生变化。 如果甲不与乙合作，不论他是否可以欺骗乙，他可能试用另一－种策略：向丙声明，只要丙不向他掷镖，他也不向丙掷镖，如果丙向他掷镖，他必将还击。于是可能形成一种局面，使甲与乙处于拼斗状态，但丙不向甲掷镖，而是把镖掷向乙。概率计算表明，此时丙的最佳作法是向乙的气球掷镖，如果乙也攻击甲，则甲的总获胜机会仍为44％，乙则为20％，丙却是35.6％，甲虽然未能增加其获胜机会，却成了竞争中的领先者。 如果乙也对丙发生威胁，面对两个对手的威胁，丙的最佳策略是不对两者中的任何一位攻击，把镖掷向空中，只要没有人攻击丙，他在游戏第一阶段中的唯一目标就是增加在第二阶段中与对抗的机会，而不是与甲对抗。此时甲获胜的机会是38.1％，乙为25.7％，丙为36.2％。不过这还不是定论。如果甲扩大了威胁面，使丙不再向空中掷镖，局面就会变得愈加奇妙。 这个问题的基本前提是每位参赛者都是有理性的，而且都力图为自身利益考虑。容易理解，气球战的原理与多位候选人政治竞选或多个公司商业竞争的情况颇为相似，其中的一项教益在于，显而易见的策略并不一定是好策略。另一项教益是，在缺乏有关竞争者能否联络、共谋、进行威胁或达成有约束力并可以实施的协议等信息的情况下，对可能的解法是不能进行正确评估的。 另一个涉及冲突与合作的例子是著名的"囚徒悖论" 设甲、乙二人为同一案件的两名罪犯，他们被隔离并被告知：如果他们都招供，可得到较轻的判处，如每人监禁5年（5，5）；如果一人招供而另一人顽抗，前者因立功而只判3个月监禁，后者则受到10年监禁的加倍惩罚（0.25，10）或（10，0.25）；如果二人均不招供，则由于缺乏证据只能各判处1年监禁的轻刑（1，1）。从总体上看，如果甲乙二人能相互合作，共同顽抗，就能争取到各判一年监禁的最佳结果。但是，对于他们中的任何一人而言，无论对方是否招供，自己招供似乎都是最佳选择；而当双方都这样考虑时，他们只能获得每人监禁5年的结果。实际上，对策论的一般研究结果表明，当利害冲突涉及到多人的场合，对个体最优的选择，往往并不能实现总体最优，而要想指出合理的行动又往往是十分困难的，"囚徒悖论"只不过是较为突出的一个，其中的原理既可以运用于国内外市场上的经济竞争，又可以用于研究世界和平与国际争端。 （3）名额分配中的难题
在人类的社会生活中，各种分配问题极为常见，针对不同的实际情形建立合理的分配原则受到经济学家、政治学家、法学家当然还有数学家等的共同关注，而名额分配则是其中十分典型的一类，有关的实质性内容早在18世纪就开始被美国的一些政治家们认真地加以讨论了。 美国宪法第一条第二款规定：每个州派往众议院的代表人数应与本州人口成比例，谁能想到这条看上去既简单又合理的规定永远也不可能真正实行呢？ 美国现有50个州，各州的人口数量之间又没有整数倍，在一个特定规模的众议院，每个州的理想代表人数是按该州人口与总人口的比率乘众议院总成员数得出的。这个理想数字可能是个分数，而各州的代表名额却必须是整数，于是就需要有一套分配代表名额的合理方法。 在美国建国初期，一些著名政治家包括亚力山大·汉密尔顿、托马斯·杰佛逊和丹尼尔·韦伯斯特，都曾提出他们各自的解决方法，财政部长汉密尔顿的方法最容易理解，他的方法于1792年经国会通过但紧接着被乔治·华盛顿否决。按照他的方法，开始时先给每个州一个代表数，与其理想的代表人数的整数部分相等，舍弃其分数部分。换言之，如果佛蒙特州理想的代表人数为3.62它就有3个代表。在这个基础分配的代表人数上计算出代表总数，如果总数没有达到众议院要求的人数，就取那些舍弃了的最大分数值的州的代表，进众议院。 1975年，《美国数学月刊》刊登了迈克尔·巴林斯基和H.佩顿·扬的文章"按比例分配的定额法"其中根据汉密尔顿的按比例分配方法虚构了如下的例子。 在一个拥有5个州的国家中，要成立一个有26个席位的众议院。下表显示了各州的人口和根据汉密尔顿的方法每个州所能获得的代表人数。
 在汉密尔顿的方法至少符合一个平等的原则：它给每一个州能够就近上下浮动的理想的代表数。换句话说，如果D州的理想代表数为3.319.他的方法总会给D州3个或4个代表，永远不会2或5个代表.符合这个自然准则的方法据说能满足定额，并且是人们所希望的一种被认为是公平的按比例分配方法的最低定额。 可是，汉密尔顿的方法违背另一个更难理解的公平准则。在上述5个州的例子里，设想
 众议院的规模由26个席位增加到27个：在27席位的众议院，A、B、C、D和E各州分别获得9、8、6、3和1个代表数。奇怪的是，虽然总人口和D州的人口都没有变，众议院人数增加了，D州的代表人数现在反而减少了。数学上一种令人痛苦的扭曲，叫做亚拉巴马悖论，使D州处于双重的不利境地（因为这种悖论最初是在牵涉到亚拉巴马州的计算中发觉的） （4）公平的选举是可能的吗？
 ①贡多赛（Condorcet）投票悖论。假设在某一选区有3名候选人（记为x，y，z）让三位选民（记为A，B，C）来选举，用1、2、3来表示选民对候选人的偏好优先顺序，结果如右表。 由此表可知，三分之二的选民认为A比B好，三分之二的选民认为B比C好，按照人类理性思维的习惯，似乎应该是A比C好。然而，投票的结果恰好也有三分之二即多数选民认为C比A好。A、B、C之间的顺序于是变得无法确定。这就是所的贡多赛投票悖论。 现实生活中的选举过程往往是：先在两名候选人中按照"少数服从多数"的原则选出一名，获选者再与另一名候选人进入下一轮的竞选。但采取这种选举方法，候选人之间不同的竞选顺序将会导致截然不同的最终结果。在上面的例子中，若第一轮表决在x与y之间进行，则x获胜并与z进行第二轮的角逐，最后的获胜者，若让y与z先竞选，则x将赢得最后的胜利，而y也可以稳操胜选，关键在于选举的顺序。 ②波达（Borda）投票悖论。波达的投票方法是用数值来表示选民对候选人的偏好顺序，例如规定1表示最好，2表示次之，依此类推。把全体选民对某个候选人的偏好顺序数加起来，就得到该候选人?quot;波达数"。通过比较各个候选人的波达数（这里波达数小对应优先程度高），便可以得到社会对全部候选人的偏好顺序。在上面的例子中，3名候选人的波达数都是6，所以社会对他们的评价都是一样的，没有优劣之分。
 波达投票法避免了贡多赛投票悖论。却产生了新的矛盾。假设在上面的例子中，候选人z由于某种原因临时宣布退出竞选，选举只在x与y之间进行。如果人们对x和y保持各自的偏好顺序不变，则有右表所示： 根据波达数，社会认为候选人x优于候选人y，这与候选人z没有退出时x和y没有差别的结果显然不同。可见，波达投票法的最终结果竟然与候选人的数目有关。这就是波达投票悖论。 ③"扩大委员会悖论"与"离任委员悖论"。荷兰数学家施达灵（Mike Staring）1986年发表了题为"委员会选举的两个悖论"的文章，其中给出了另外两个有关选举的悖论：
一个众所周知的选举程序允许每个选民拥有与委员会中有待补充的缺额同等数量的投票权。这种被普遍使用的、用以处理两次相继选举的空缺的程序，可能导致某些奇怪的现象。考虑这样的情形：有12位选民（编号从1到12），他们要从9位候选人（A至I）中选出一个委员会，在只有两个空缺需要补充时，每位选民投票给对他（她）来说排在最前面的两位候选人。当每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示时，投票总数将有如下结果：候选人
 A和B都获得四票，而H和I各得三票，其余候选人每人均得两票。因此，A和B将当选。
然而，如果有三个空缺而不是两个，每个选民就必须投三票。结果被选上的将是C，D和E，因为他们每人都将获得五票，而其余每个候选人都只获得四票或三票。类似的计算导致这样的结论：如果有四个空缺，那么既没有二人委员会中的成员、也没有三人委员会中的成员能够当选；事实上，当选者将是F、G、H和I！ 因此，这将被概括为"扩大委员会悖论"：一个候选人可以被选进一个由N个成员组成的委员会，而当这个委员会由N＋1个成员组成时他却未必能够当选。事实上，N人委员会与N＋1人委员会的成员可能毫无关系。 当委员会的一个已当选的成员在两次相继的选举期间退出了，就可能发生第二个现象。通常，在发生这样的事情时并不进行.实际的选举，而是简单地指定在上一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人入选。这似乎是合理的，但是，假设有12位选民，他们要从5位候选人中逃出一个由两人组成的委员会。每位选民对于候选人的个人偏好如下表所示。如果每位选民必须投两票，投票结果是，委员会将由A（获得12票）和B（获得5票）组成，候I选人C（得3票）以及D和E（均得2票）将不能当选。如果几天后A退出了委员会，而且所有选民对候选人的个人偏好保持原来的状态，一轮新的投票将导致获胜是D和E，各得8票。然而，指定第一次选举时票数仅次于最后一名当选者的候选人以代替离任委员A的程序，将导致候选人C当选。于是委员会将由B和C组成，而不是D和E。这一结论就?quot;离任委员悖论"：在有一名已当选的委员退出委员会（因此，他也不再是候选人）时指定第一次选举时栗数仅次于最后一名当选者的候选人当选的程序，可能将产生一个这样的委员会，它与如果选民有机会再次投票而将产生的委员会毫无关系。
 由以上的分析不难看出：数学方法在合理地设计各种政治系统并保证其正常运作方面有着至关重要的作用，以致许多西方学者认为，寻求合理的民主控制方法、建立有效的政治协商机制本质上是一个很困难的纯数学问题。 3.保险学
保险数学是研究有关保险制度和保险经营管理的数理技术的一门应用数学，是把数学模型成功地应用于人类社会生活的一个情形。早在文艺复兴时期，欧洲一些保险学者就开始尝试用数学方法研究保险问题了。19世纪以来，以生命表与利率计算为中心，确立了人寿保险（简称寿险，亦称生命保险）的古典模型，推动了保险数学的发展。 保险学中要考虑的许多基本问题都需要运用数学方法得到解答，例如，对各种风险的估计，不仅涉及实际的统计资料，还需要运用一整套相应的数学计算方法；此外，如果投保人面临以一定概率分布的财产损失的危险，他最多愿意出多少钱来购买保险，从而避免财产的较大程度的损失？这个问题不论对投保人还是对保险公司都是十分重要的，而其解答当然需要合理的数学计算。 在人寿保险中，需要根据一群同年龄的人自某一年龄起始的生存与死亡的一般状况列出寿命表，并建立相应的数学模型，以求出每个保险合同之保险费和责任准备金的数学计算公式。一般说来，对每一寿命保险单进行数学描述必须给出相应的生命状态模式以及若干时间函数的定义，从模型得到的保险费公式和责任准备金公式等的具体形式取决于模型函数的数学性质，公式推导通常涉及到级数求和、向量空间、黎曼－斯蒂尔吉斯积分、测度论、差分方程、微分方程、积分方程和差分微分方程方面的方法与技巧。当被保险人由于保险合同内的特定风险事件发生而遭受损失时，保险人负有给付保险赔款（保险金）的责任。赔款金额的大小因不同种类的保险赔偿方式有所不同，但不超过事件所造成的实际损失价值。这种与损失价值相联系的偶然给付称为理赔支付。显然保险标的损失价值（或金额）是一个随机变量，用X表示，称为索赔随机变量。理赔支付的数额取决于对X的勘估。概率与统计是估算X的有力工具。 保险的理赔支付是否正确，对保险经营有重大影响。给付太少会使业务增长遭受影响，给付太多会使保费收入不胜负荷，太多与太少皆非所宜。正确的理赔只能以合理的计算为基础，而合理的计算又必须以数学上所认定的风险稳定性定理为基础。 4.管理科学
在当代管理科学中，正越来越多地使用着各种数学方法，其中运筹学方法的广泛而深入的应用尤为突出。 运筹学是在第二次世界大战中为进行作战研究而发展起来的一门应用科学，其中的理论和方法在战后被广泛应用于各种民用领域，成为一门主要运用数学和计算机等方法为决策优化提供理论和方法的学科。以下简介其中几个分支在管理科学中的应用。
（1）排队论。各种排队现象在人类社会活动中几乎随处可以遇到，有的是有形的，如商店里顾客排队等待购物F病人在医院候诊；汽车在加油站等待加油F进入机场上空的飞机等候降落。有的是无形的，如计算机网络的用户等待使用某资源。排队论又称随机服务系统理论，是通过对各种服务系统在排队等待现象中概率特性的分析，来解决服务系统最优设计与最优控制的一门学科。它既是运筹学的一个重要分支，也是应用概率十分活跃的一个分支。要考虑的基本因素有：
①顾客到达规则。
②顾客排队与接受服务的规则。a.排队规则。例如多个服务台，提供同类服务，顾客陆续到达，如何排队？如果只排一队则能够严格地实现先到先服务的原则，而不受各服务台服务速率的影响。b.服务规则：先到先服务：前面提到的排队现象其服务规则基本都属于这类。后到先服务：战争中军事情报的处理（如密码的破译）；在通讯系统中，最后到达的信息一般说来是最有价值的；料场中的原料，后到的通常堆放在上面，使用时先被取走。优先权服务按紧急程度或重要程度考虑服务顺序。例如医院里的急诊病人；发生故障的机器等候工人修理；车站、码头上对重要货物、重要车优先服务；在电话局对长途电话比市内电话优先服务、战场、灾害救援。随机服务：对同一型号的机器进行修理时往往随机地取出一台来修理。成批服务：公共交通系统。循环服务：计算机分时系统。
③服务机构的结构形式、服务员个数与服务速率。 （2）数学规划。工业上，线性规划的单纯形法使生产、制造、存贮控制、分配等方式发生了变革，用这种方法可以容易地算出资源分配的最优方案。计算机能成批地处理和存贮大量的数据，从而使记账、开列账单、算账等工作大大简化了。 （3）库存论（存贮论）。储备一批物品（或商品）以供未来使用或销售，这在工业生产、商业管理和军事作战等领域中都是普遍存在的现象。否则，由于工厂原料或零备件的短缺，会造成停产；商店缺少某种商品要损失营业额；医院缺少药品，医生将无法治病；武器储备不足将导致战斗失利等等。总之，为了保障各类系统的正常运行，储备一批必要的物资，不断补充库存是必须考虑的问题。一般来说，并非库存的物品越多就越好，因为保持不必要的过高库存量不仅会占用大量的流动资金，还要增加库存管理费用。而且，由于保存物资过多，造成物资库存时间延长也会使被保存物资失效和变质，从而造成损失。因此，以研究合理的库存量，何时补充库存以及补充多少数量等为主要内容的科学的存贮管理和存贮方针就应运而生，这就是库存论。 （4）决策分析。为复杂的和结果不肯定的决策问题提供旨在改善决策过程的合乎逻辑的、系统的分析方法，为决策者提供最有效的或满意的决策及其可能结果的分析，供作决策时参考。例如投资方向与规模；股票；工程上马；政策实施付（人口，教育，科技）；治疗方案；外交姿态；军事行动等。 除运筹学外，管理科学中应用的数学方法还有很多，例如，图论中的有向图理论可以用来解决复杂的调度问题。考虑一个必须进行某一组工序的制造流程。如果每一工序需要一定的时间来进行，而某些工序又必须在其它工序开始之前完成，那么就可以画一个图来为这些工序设计一个最佳调度计划。在图中每一工序用一点来表示，每一点标记上一个数表示完成这个工序所需要的时间。必须完成的某些工序的序列用箭头表示在线上。为了确定出最佳调度计划，就要在有向图中寻找（必要时可借助计算机）一条"关键路线"，它完成全流程所用的时间最少。用同样方法也可以处理复杂的运输问题。例如，有向图中的每条线可以表示一条路，线上还可以标明在这条路上运输某种特殊产品所需的费用。这样，就能够应用巧妙的算法来求出一条有向路，它使得把产品由一个地方运到另一个地方的总运费降到最低。 5.计量史学
以统计学为主要基础并在不断发展的计量学至少已有一个世纪的历史了。在第一阶段，历史研究只与统计学有初步的接触，占统治地位的是用统计方法处理新发现的材料，最初主要是由于经济史的发展.经济史如果不是要成为奇闻轶事的汇编，就必须研究大量现象（通过利用以前未研究过的原始资料），而那就需要计量方法。这种方法首先被应用于物价（结果不甚显著）和人口统计资料（其结果在科学上引起较大兴趣）。从19世纪中叶起，欧洲各国至少有数十位历史学家把注意力集中在统计研究和数字资料的解释上面。19世纪末还出现了越来越多的关于统计学和历史研究之间关系的研究，历史统计学的概念也在那个时期产生。当时许多历史学家担忧历史学会因此而丧失个性，他们尚未充分认识到，定量研究的结果只有通过定性分析才能融成一幅历史进程的图画。这种定性分析
计量史学第二个发展阶段的特点是多方面的进展，主要是为定量分析找到了理论基础（尤其是在政治经济领域），通过扩大相关计算扩大这种分析的范围，并且尝试性地把数值研究结果运用于没有大量出现的集合事实，甚至个别事件的发生性解释与因果性解释，即努力为社会和政治历史，以及为传统上作定性分析的历史学科的其它分支打下定量基础。这一阶段为历史研究中的定量分析提供了合法地位，但仍未能提出定性研究与定量研究的令人满意的联系。然而它促进了关于统计资料考证的发展，并使各种资料的区别成为可能（并且结果产生了许多有价值的出版物，诸如松德关税登记簿）。 第二次世界大战末，计量史学进入第三阶段，即综合阶段。定量研究的理论基础由于各学科之间，尤其是历史学、经济学和社会学之间的不断合作而得到改善。对于在历史学中运用精确度量的必要性的认识变得很普通，这显然并非意味着大规模地越出了平均数、相对数等的基本计算之外，尽管越来越广泛地运用各种相关度量，回归系数，集中度量，趋势计算，以及数理统计原理（代表抽样，显著性检定等）。在这一阶段，由于使用定量分析方法开发新的原始资料，在许多方面突破了传统的历史研究的局限。 在今天，尽管不少历史学家对于运用数学方法的前景仍感困惑，但是大部分历史学家争论的问题已不是"是否有必要运用数学"，而是"应该在什么方面以及怎样更好地运用数学"。 人们往往认为，运用数学方法和电子计算机，不过是将在计算方面帮助历史学家，减轻和加快他们的工作。或者，至多是有助于更精确地反映历史学家的思想以及所观察到的现象。然而，运用数学方法的意义决不仅限于此。实际上，数学方法已影响着历史学家观察问题的角度和运用文献资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方向和内容二最后，数学方法对于检验研究结论也有重要的意义。然而，运用数学方法最重要的意义看来在于，它有可能解决使用习惯的，传统的历史研究方法所无法解决的某些难题。 数学方法的运用使历史学研究的对象从传统的以个人为中心的政治史向以大众和过程为主体的总体史或综合史的转移成为可能，并开辟了史学研究的新领域，另一方面，数学方法正在影响着历史学家观察问题的角度和思考问题的方式，从而有可能解决使用习惯的、传统的历史研究方法所无法解决的某些难题。 数学方法的运用为历史研究开辟了许多过去不为人重视或不曾很好利用的历史资料新领域。从更一般的意义上说，数学方法的运用在极大地影响着历史学家运用文献资料的方法，影响着他们对原始资料的收集和整理，以及分析这些资料的方向、内容和着眼点。
数学方法的运用使历史学趋于严谨、精确。它不仅使研究课题、基本论点、论证过程以及研究结果的表述更加清晰、准确，而且对于研究结果的检验也有重要意义。 6.语言学
法国著名数学家阿达玛（J.Hadamard，1865－1963）曾说："语言学是数学和人文科学之间的桥梁"。语音学和数学都有着悠久的历史，前者历来被看作典型的人文科学，后者直到本世纪以前一直被认为是最重要的自然科学。很少有人会想到，这两门代表着人类知识两极的学科之间还有着深刻的内在联系。 1847年，俄国数学家布里亚柯夫斯基指出，可以用概率论进行语法、词源及语言历史比较的研究。1894年，瑞士语言学家索绪尔（De Saussure）指出，"在基本性质方面，语言中的量与量之间的关系可以用数学公式有规律地表达出来"。1916年他又说，语言学好比一个几何系统，"它可以归结为一些待证的定理"。1904年，波兰语言学家博杜恩·德·库尔特内（Baudouin de Courtenay）认为，语言学家有必要掌握高等数学，语言学将日益接近精密科学，它将根据数学的模式，一方面更多地扩展量的概念，一方面将发展新的演绎思想的方法。 从19世纪中叶开始，许多数学家和语言学家进行了用数学方法研究语言学问题的实践，获得了许多重要结果。本世纪中叶电子计算机刚刚发明，人们就开始了用计算机进行机器翻译的尝试，从而需要对构词法和句法进行分析研究，数学方法的引入，极大地推动了这些研究向精确化、算法化的方向发展。此后，对计算机高级程序语言的研究，对语音的自动合成与分析的研究，以及文字识别计算的进展，都大大促进了数学和语言学的结合，形成了一门新兴学科--理语言学。 数理语言学用数学方法研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述。它既研究自然语言，也研究各种人工语言（如计算机语言），包括三个主要分支：
①统计语言学，或称计量语言学，主要工作是应用统计程序处理语言资料，如统计语言单位（音素、字母或词汇项）的出现频率；研究作者的文体风格（计算风格学）；在比较语言学中采用数学公式，衡量各种语言的相关程度；在历史语言学中确定不同时期语言发展的特征；信息论观点分析语言信息的传输过程，等等。 ②代数语言学，或称形式语言学，对传统的语言学概念进行严格的逻辑分析，借助数学和逻辑学方法提出精确的语言模型，运用形式模型对语言进行理论上的分析和描写，把语言学（或它的某个方面）改造成为现代科学的演绎系统，使之适于用计算机处理。 ③算法语言学，它把语言看作由一系列层次组成，各层次本身都有一定的结构形式，各层次之间都有一定的对应关系。它把底层（如音位，词序，形式语句）结构作为一种抽象的符号系统来处理，通常采用图论中的树形图作为分析表达工具，以便从表面的语言现象中挖掘出它的潜在本质，以解决一些形式语言学难以解决的问题。数理语言学中使用了概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、自论、信息论方法、公理化方法、数学模型方法、模糊数学方法等一系列数学理论与方法，取得了许多出人意料而又令人叹服的研究者果，这里仅以计算风格学的几个应用为例： （1）《红楼梦》研究
1980年6月在美国威斯康星大学召开的首届国际《红楼梦》研讨会上，华裔学者陈炳藻宣读了《从词汇上的统计论（红楼梦）的作者问题》的文章；1986年，他发表了《电脑在文学上的应用：<红楼梦>与<儿女英雄传>两书作者用词的比较》一文之后又出版了《电脑红学：论<红楼梦>作者》的专著，利用计算机对《红楼梦》前八十回和后四十回的用字进行了测定，并从数理统计学出发，探讨《红楼梦》前后用字的相关程度。结果发现《红楼梦》前八十回与后四十回所用的词汇正相关程度达到78.57％，而《红楼梦》与《儿女英雄传》所用词的正相关程度是32.14％。由此推断得出前八十回与后四十回的作者均为曹雪芹一人的结论。 1985年以来，南京工学院（现东南大学）、深圳大学相继开发了《红楼梦》作品研究的计算机数据库系统。根据电脑检索系统提供的资料，有关人员对红学研究中的一些问题提出了新的看法。例如，在对《红楼梦》前八十回与后四十回的一些语言风格要素与风格手段，即某些用字、用词及回尾处理的差异做了比较研究后，得出了前八十回与后四十回语言风格存在明显差异的结论，为两者出于不同作者之手提供了有力的证据。这与从词汇数量统计的结果相比较，似乎更具有说服力。 1987年，中国数学家李贤平在美国威斯康星大学，运用计算机技术的模式识别法和统计学家使用的探索性数据分析法，对《红楼梦》进行统计分析、风格分析，提出了又一个震惊红学界的《红楼梦》成书过程新观点：《红楼梦》各回写作风格具有不同的类别，各部分实际上是由不同作者在不同时期里完成的。他认为："《红楼梦》前八十回是曹雪芹据《石头记》增删而成，其中插入他早年著的《金瓶梅》式小说《风月宝鉴》，并增写了具有深刻内涵的许多内容。《红楼梦》后四十回是曹家亲友的在曹雪芹全书尚未完成就突然去世之后，搜集整理原稿并加工补写而成。程伟元将全稿以活字版印刷刊行。高鹗校勘异文补遗订。他的研究结果使"曹雪芹作前八十回，高鹗续后四十回"的传统观点受到了严重挑战。 （2）萧洛霍夫《静静的顿河》
《静静的顿河》的原作者究竟是谁一直是苏联现代文坛的一大疑案。 1928年，年仅23岁的萧洛霍夫发表了《静静的顿河》第一卷，很快就获得了非凡的成功。此后不久，萧洛霍夫家乡一些报刊上，有人声称这部书的原稿并非出于他的手笔，说他不过是把一个白军军官--哥萨克作家克留科夫的遗稿作了一番改头换面的加工而已。这种说法很快传遍全国，以致当时有关部门曾设立了一个专门委员会调查此事，但赞赏作品的斯大林阻止了调查。 1965年，萧洛霍夫由于《静静的顿河》的文学成就而获得了诺贝尔文学奖，关于这部书是否萧洛霍夫所著的争论又出现了高潮。从1968年到1974年萧洛夫不断遭到强烈的攻击与指责。这场争论在世界范围内引起了广泛关注，挪威学者海特瑟、瑞典学者比克曼等人组成专门的研究小组使用计算机对克留科夫和萧洛霍夫的创作进行全面的比较，通过各种统计数据测出《静静的顿河》与萧洛霍夫后期作品的语言风格基本－致，以此证明这部著作确是萧洛霍夫的作品。然而，直到1984年萧洛霍夫逝世，有关《静静的顿河》原作者的争论仍未平息。 1991年10月，前苏联《工人论坛报》发表了萧洛霍夫的《静静的顿河》第一卷的手稿。这些手稿是莫斯科新闻工作者科洛德内在私人档案里发现的，共有几百页，是《静静的顿河》的头两卷，手稿的第一页左上方清楚地写有"1925年秋"字样，上中间位置是大写的书名《静静的顿河》。经全苏法律鉴定科研所笔迹鉴定，证实它们确为萧洛霍夫于20年代后期所写。档案手稿的新发现为长期悬而未决的《静静的顿河》作者之争做出了令人信服的结论，也以事实证明了计算风格学的价值 （3）谁是"联邦主义者"？
1964年，美国统计学家摩斯泰勒和瓦莱斯考证出了12篇署名为"联邦主义者"的美国18世纪末期报刊文章的真实作者。作者的候选人只有两人：一位是美国开国政治家汉弥尔顿（1757－1804），一位是美国第四任总统麦迪逊（1751－1836）。当这两位统计学家开始进行统计分析时，遇到了一个极大的困难，他们发现，作为风格重要特征的平均句长在这两位作者的已有著作中几乎完全相同，于是，他们只好放弃平均句长这个指标，转而从用词习惯上来找出这两位作者的有区别性风格特征。他们终于发现这两位作者在某些虚词的使用上有明显的不同：汉弥尔顿在他的18篇文章中，有14篇用了enough这个词，而麦迪逊在他的14篇文章中根本未用enough；汉弥尔顿喜欢用while，而麦迪逊总是用whilst；汉弥尔顿喜欢用upon，麦迪逊则很少用。这样，他们便取得了这两位"候选作者"的风格特征指标。然后，再把这些风格特征指标与未知的12篇署名"联邦主义者"的文章中相应的风格特征相比较，最后推断这位"联邦主义者"就是美国第四任总统麦迪逊。两位研究者所用的数学方法得到了学术界的好评。 7.军事科学
军事运筹学是应用各种数学方法来描述与分析军事作战及有关行动，寻求最优决策的一门学科。早期的运筹学研究就是从解决军事问题开始的。1914年，英国工程师F.W.兰彻斯特（Lanchester）发表了关于古代冷兵器战斗和近代枪炮战斗数学模型的论文，第一次用微分方程分析数量优势与战斗胜负的关系，定量地论证了集中兵力原则的正确性。他所建立的战斗损耗方程被称为兰彻斯特方程，一直受到军事理论家的重视和研究。第一次世界大战期间，人们初步尝试了概率统计方法在军事问题中的运用。二次大战期间，军事运筹学正式建立，最初主要研究火力运用理论和目标搜索理论，其奠基性著作是战后出版的、美国物理学家、数学家P.M.莫尔斯（Morse）和G.E.金博尔（Kimball）的《运筹学方法》（1951）。作者在"引论"中写道： 经过战争，运筹学证明了它在军事土的应用是有价值的。今天，美国和英国的军队中都设有隶属于高级参谋部的计划和作战单位的运筹研究小组。海军上将金（E.J.King）在他于一九四五年十二月八日所提出的总结报告中对这项工作给丁很有意思的评价：
"现代战争在方法和手段两方面的复杂性，要求我们对每一阶段中我方和敌方所采取的措施及反措施进行精确的分析。科学研究不仅能加速武器均发明和生产，而且还能保证其正确使用。有资格的科学家们把科学方法应用到海军作战技术和设备的改进上，形成了所谓运筹研究。从事运筹研究的科学家是这样一些专家，他们专门向海军中使用武器和飞机舰艇的单位一一即舰队本身提建议。……" "这次战争，比以往任何战争都更多地包含新技术措施，和反措施之间的斗争。例如，当我们开始在我们的反潜艇飞机上使用雷达时，德国的潜艇被迫改变其战术和装备，而我们又不得不再次改变我们的战术和雷达装备以对抗他们的改变。在这场识破对方的技术的拉锯战中，哪一边能在敌方还没来得及完成新技术和式器之前就迅速地采取反措施，哪一边就能占有决定性的优势。运筹研究让科学家参加分析措施和反措施之间的变动的技术意义，使我们能在一些紧要关头加快我们的反应速度。" 在当代，军事运筹学主要研究以下四类问题：军队日常管理；作战指挥运筹；武器装备发展；国防战略决策，这些问题的重要性部是不言而喻的，而数学在其中发挥的作用也远远超过了第二次世界大战时的水平，常常是至关重要的。 实际上，在当今的军事理论和国防战略研究中，还大量使用了其它许多复杂的现代数学理论与方法。例如，在1991年1月美国对伊拉克实施"沙漠风暴"行动前，美国曾严肃考虑了一旦伊拉克点燃科威特的所有油井将会造成的后果。据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼要求太平洋－赛拉研究公司研究此问题。该公司使用偏微分方程理论和数学模型方法，在进行了一系列模拟计算后得出结论：大火造成的烟雾可能招致一场重大的污染事件，将波及到波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这样才促使美国下定决心。 现代军事科学研究中广泛应用了数学中的蒙特卡罗方法，例如，用蒙特卡罗方法可以建立战斗的概率模型，从而可以在实战前对作战双方的军事实力、政治、经济、地理、气象等因素进行模拟，但这些因素可能随时发生变化，如果在计算机上进行战斗模拟，计算机就可以在很短时间内把一个很长战斗过程模拟下来，告诉我们可能的结果。这样，军事指挥人员就可以进行成千上万次的战斗模拟，从中选择对自己一方最有利又最稳妥的作战方案，赢得战争的胜利.这相当于用计算机进行大规模的军事演习。现在世界上已有不少国家采用这种模拟方法并在实际战役中取得了成功。 五、数学与哲学 本世纪初，德国哲学家施本格勒（0.Spengler）在其名著《西方的没落》（1918）中写道："最终来说，数学，是最高境界的形上思考，就如同柏拉图，尤其是莱布尼茨所表现的一样。迄今为止，每一种哲学，皆伴随有一种属于此哲学的数学，而共同发展。"
英国著名哲学家怀特海（A.N.Whitehead）也在《科学与近代世界》（1932）中指出："假如有人说，编著一部思想史而不深刻研究每一个时代的数学概念，就等于是在'汉姆雷特'这一剧本中去掉了汉姆雷特这一角色。这种说法也许太过份了，我不愿说得这样过火。但这样做却肯定地等于是把奥菲莉这一角色去掉了。这个比喻是非常确切的。奥菲莉对整个剧情来说，是非常重要的，她非常迷人，同时又有一点疯疯癫癫。我们不妨认为数学的研究是人类性灵的一种神圣的疯癫，是对咄咄逼人的世事的一种逃避。" 从希腊时代开始，数学与哲学就结下了不解之缘。西方近代最杰出的哲学家如笛卡尔、斯宾诺莎、莱布尼茨、洛克、贝克莱、康德，或者本人就是数学家，或者具有相当高的数学素养，而他们的哲学也深深地打上了数学的印记。19世纪后期至本世纪，一些重要哲学进展也与数学发展密切相关，例如庞加莱的约定论；分析哲学；结构主义；系统哲学。 1.庞加菜的约定论
庞加莱（J.H.Poincare，1854－1912，或译为彭加勒，法国）是19世纪末和本世纪初的两位数学巨人之一（另一位是希尔伯特），在数学的四个主要部门--算术、代数、几何及分析中都作出了开创性的成就，尤其是在函数论、代数几何学、数论、代数学、微分方程、代数拓扑学等分支都有卓越贡献。他的约定论起源于他在几何基础方面的研究，系统而明确的表述是在《科学与假设》（1902）一书中，基本观点是：（1）几何学的公理是人们约定的；（2）物理学的一些基本概念和基本原理也具有约定性质；（3）约定是理论和经验相结合的产物。这些思想对本世纪科学哲学的发展产生了重要影响。 2.数理逻辑的蓬勃发展与分析哲学的崛起
分析哲学创始于20世纪初的英国，一般认为，它的直接思想先驱是德国数学家、逻辑学家弗雷格（F.L.G.Frege，1848－1925），创始人是英国哲学家、逻辑学家罗素（B.A.W.Russell，1872－1970）和奥地利哲学家维特根斯坦（L.Wittgenstein，1889－1951），并以罗素在1905年发表的《论指示》一文作为分析哲学形成的标志。
罗素是分析哲学的主要创始人。他第一个强调要把形式分析或逻辑分析看作哲学固有的方法，并加以广泛的应用；他指出日常，语言无论在词汇和句法方面都模糊不清，以致引起哲学中的混乱。他主张以现代数理逻辑为手段，创造理想的人工语言，以保证命题的句法形式一定与它的逻辑形式相一致；他提出了对后来分析哲学的发展有重大影响的类型理论和摹状词理论。罗素的哲学思想实际上是一位数学家的思想，他是著名的数理逻辑学家，本世纪数学基础研究中逻辑主义学派的杰出领导人。罗素的数学训练的一个结果是他愿意构造人工的演绎系统而颇不关心他所使用的术语是否与日常语言绝对符合。
分析哲学后来发展出多个支派，主要有： 逻辑实证主义，又名逻辑经验主义或新实证主义，形成于本世纪20年代中叶的奥地利，其核心是石里克创立的维也纳学派，20至30年代盛行于欧洲，40至60年代流行于美国，并且与实用主义相结合在美国形成许多新的支派。例如以蒯因（W.0.Quine，1908－）为主要代表人物的逻辑实用主义。蒯因在哲学与逻辑方面深受罗素思想的影响。蒯因把他的《集合论及其逻辑》一书献给罗素，并在该书扉页上写道："罗素的思想长期以来在这门学科中巍然耸立，他的著作激起我对这门学科的兴趣。"不过，蒯因后来并不完全赞同罗素的观点，他试图在其逻辑体系和集合论方面取得罗素的《数学原理》所取得的那样的成就，而又不采取罗素在类型论上的观点。 日常语言学派，出现于本世纪30年代的英国，30至50年代盛行于英国，主要接受摩尔对常识与日常语言的强调和维特根斯坦后期思想的影响。30年代在剑桥大学形成了以威斯顿为代表的剑桥学派；40年代，日常语言学派的中心从剑桥转移到牛津，形成了以赖尔、奥斯汀、斯特劳森等人为代表的牛津学派。 批判理性主义，由波普尔于30年代在奥地利提出，40至60年代盛行于英国。 历史社会学派，本世纪60年代形成于英美，60至70年代盛行于英美。主要代表有库恩、拉卡托斯、费伊阿本德等人。 科学实在论派，大致与历史社会学派同时，在60年代有很大发展，代表人物有塞拉斯、普特南、斯马特（J.J.Smart）等。 60年代以后，逻辑实证主义、日常语言学派以及批判理性主义，作为独立的学派来说日益衰落，但它们的部分观点对以后的分析哲学家仍有很大影响，这些分析哲学家在此基础上又作出一些值得注意的新发展。 分析哲学的产生与当时蓬勃发展的数理逻辑有密切联系，它的许多代表人物都对数理逻辑进行过深入研究，并作出重大贡献。数理逻辑借助于形式化的逻辑语言与逻辑演算来处理形式逻辑中的问题，这就便于对问题作高度精确的表述，避免日常语言的不确切和逻辑上的不严密。因此，除日常语言学派外，绝大部分分析哲学家对数理逻辑都十分重视，经常借助于数理逻辑来论证分析哲学的命题。弗雷格和罗素，特别是后来的逻辑实证主义者，试图利用数理逻辑来构造一种理想的、精确的人工语言，以求对哲学混乱。60年代以来，英美分析哲学家也强调要以数理逻辑为手段，从事自然语言的语义学研究。分析哲学家，尤其是逻辑实证主义者，经常表白他们的理论具有科学性，并把他们的哲学称?quot;科学的哲学"。他们强调要以自然科学、特别是数学和物理学为模本来建立自己的理论，要使自己的论证达到自然科学那样的精确程度。他们特别利用现代数理逻辑的演算来支持自己的论证，建立了他们自己的一套技术术语。 3.结构主义
所谓结构主义，可以上溯到本世纪初在语言学中由索绪尔（F.de Saussure）提出的关于语言的共时性的有机系统的概念和心理学中由完形学派开始的感知场概念。此后在社会学、数学、经济学、生物学、物理学、逻辑学等各学科领域中，都在谈结构主义。当代结构主义的领袖人物是法国人类学家、哲学家列维－斯特劳斯（C.Levi－Straush，1908一？）。结构主义企图构造人类精神的普遍理论.它确实是一种逻辑，这种逻辑的模型就是数学，并且象数学一样，它所感兴趣的不是内容，而是关系以及在组合的形态中扩大关系的数目。瑞士著名心理学家皮亚杰在他的《结构主义》（1968）一书中清楚地说明了结构主义哲学与数学的关系："如果不从检验数学结构开始，就不可能对结构主义进行批判性的陈述。其所以如此，不仅因为有逻辑上的理由，而且还同思想史本身的演变有关。固然，产生结构主义的初期，在语言学和心理学里起过作用的那种种创造性影响，并不具有数学的性质（索绪尔学说中关于共时性平衡的理论是从经济学上得到启发的；'格式塔'学派的完形论学说则是从物理学上得到启发的），可是当今社会和文化人类学大师列维－斯特劳斯（Levi－Strauss），却是直接从普通代数学里引出他的结构模式来的。 4.系统哲学
本世纪中叶，L.V贝塔朗菲（Bertallanfy，1901－1972，奥－美）创立一般系统论，其思想在本质上是数学的。70年代，西方出现了自称为系统哲学的新哲学，这是对自然科学发展的哲学响应。主要以拉兹洛和邦格为代表。由于系统哲学与当代具体科学的密切联系，所使用的概念都从不同侧面反映了现代科学的新特征。 （1）拉兹洛（Ervin Laszlo）
拉兹洛是美籍匈牙利人，主要著作有《系统哲学引论》、《用系统的观点看世界》以及《系统、结构和经验》等。他研究系统哲学的目的是寻找一个反映现代思想特征的最为一般的系统模型，为自然科学和人文科学提供具有方法论意义的工具。所以可以将他的系统哲学说成是模型论的或方法论的。 拉兹洛认为，系统哲学的材料来自经验科学问题来自哲学家；概念来自现代系统研究。他的系统哲学深受贝塔朗菲思想的影响，以发现各种系统的异质同型性为己任。 （2）邦格（Mano Bunge）
邦格是加拿大麦吉尔大学哲学教授。他原为理论物理学家，后来转向哲学，其系统哲学观点主要反映在1979年发表的7卷本《基础哲学论丛》第4卷《系统世界》中。他称自己的系统哲学是一种科学的本体论，它主要讨论世界的系统图景。
邦格系统哲学的一个重要特征是形式化。他把系统定义为：设T是一非空集，当且仅当C和E是T的不相交的子集，并且S是C与E组成的整体关系的非空集，序化了的三元组σ＝<C，E，S>就是建立在T之上的一个系统。概而言之，系统是两个以上事物（或概念）相互联系而形成的整体。邦格还用数学工具定义了元素、结构、环境等概念。他用大量篇幅讨论了从自然到人类社会的各种系统，并提出了八条公理作为其系统哲学的基本出发点。 参考文献 〔1〕《美国数学的现在和未来》，美国数学科学资金来源特别委员会，复旦大学出版社，1986。
〔2〕《振兴美国数学90年代的计划》，美国国家研究委员会，世界图书出版公司，1993.
〔3〕《面向21世纪的中国数学教育》，严士健主编，江苏教育出版社，1994.
〔4〕《数学与人类文化发展》，张祖贵著，广东教育出版社，
〔5〕《数学与社会》，胡作玄著，湖南教育出版社，1991.
〔6〕《数学在天文学中的运用》，刘步林编著，科学出版社，1987.
〔7〕《物理科学的概念和理论导论》，G.Holton著，高等教育出版社，1983，1987。
〔8〕《数学与电脑》，杨重骏、杨照昆著，湖南教育出版社，1993。
〔9〕《音乐与数学》，童忠良等编著，人民音乐出版社，1993.
〔10〕《GEB一条永恒的金带队道·霍夫斯塔特著，乐秀成编译，四川人民出版社，1984。
〔11〕《系统思想》，小拉尔夫·弗·迈尔斯主编，杨志信、葛明浩译，四川人民出版社，1984。
〔12〕《阿基米德的报复》，P.Hoffman著，尘土等译，中国对外翻译出版公司，1994。
〔13〕《历史学家与数学》，米罗诺夫、斯捷潘诺夫著，华夏出版社，1990。
〔14〕《数学与语言》，冯志伟著，湖南教育出版社，1991。
〔15〕日《语言学和现代科学》，陈明远编著，四川人民出版社，1984。
〔16〕《分形漫步》，B.H.kaye著，徐新阳等译，东北大学出版社，1994。
〔17〕《数学模型引论》，E.A.本德著，朱尧辰、徐伟宣译，科学普及出版社，1982。
〔18〕《数学模型机陈义华编著，重庆大学出版社，1990。
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