地形图的数学基础

    二、地图投影
    1、地图投影的实质
    地图投影是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。投影平面上的点用直角坐标x、y表示，椭球面上的点用大地坐标系φ、λ表示，φ为纬度，λ为经度。二者之间的函数关系为：x=f1(φ,λ)   y=f2 (φ,λ)。
    2、地图投影的分类
    （1） 按投影面来分
     圆锥投影：投影中纬线为同心圆圆弧，经线为圆的半径。
     圆柱投影：投影中纬线为一组平行直线，经线为垂直于纬线的另一组平行直线，且    两相邻经线之间的距离相等。
    方位投影：投影中纬线为同心圆，经线为圆的半径，且经线间的夹角等于地球面上相应的经差。
    （2）按投影变形来分
    等角投影：地表面上任意两个方向间的夹角投影到平面上后，保持角度不变。即角度变形为零。角度无变形就意味着在小范围内的图形是相似的，故这类投影又称为正形投影。
    等面积投影：投影面上面积与球面上面积相等，即面积比为1。在等面积投影中长度和角度均有变形，故常改变原图形的形状，其角度变形较大，但便于在图上进行面积的演算和比较。
    任意投影：既不等角，又不等面积的投影方式。在任意投影中对于沿某个方向上没有长度变形的一种特殊投影叫等距离投影。即沿该特定方向的长度比等于1。

    三、高斯投影
    1、高斯投影特点
    高斯投影是等角横切椭圆柱投影。从几何意义上来看，就是假想用一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
       
    高斯投影有以下特点：
    1）中央子午线投影后为直线；
    2）中央子午线投影后长度不变；
    3）投影后角度没有发生变形。
    2、高斯投影的分带和编号
    6度带是从0度子午线起，自西向东每隔经差6为一投影带，全球分为60带，各带的带号用自然序数1，2，3，…60表示。即以东经0-6为第1带，其中央经线为3E，东经6-12为第2带，其中央经线为9E，其余类推。
    3度带，是从东经1度30分的经线开始，每隔3度为一带，全球划分为120个投影带。下图表示出6度带与3度带的中央经线与带号的关系。
   
    可以用下面的公式来表示中央子午线经度和投影带之间的关系：
    对于6度带来说 L₆=6n-3；n=L/6（有余数，n则加1）
    对于3度带来说 L₃=3n；n=L/3（四舍五入）。
    其中：n表示带号，L表示经度，L₆ 和L₃表示中央子午线经度。
    3、高斯平面坐标系
    在高斯平面坐标系中，中央子午线为x轴，赤道为y轴。在我国，x坐标都是正的，y坐标的最大值是330km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500km（即常说的假东）。由于,高斯投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值， 所以，各带的坐标完全相同。为了指出投影带是哪一带，规定要在横坐标(通用值)之前加上带号即可。如某点的y坐标值为19123456.11m，其中，19就表示该点在19度带内。
    我国规定1∶2.5万—1∶50万地形图均采用经差6°分带，大于等于1∶1万比例尺地形图采用经差3°分带。我国领土位于东经72°—136°之间，共包括11个投影带，即13—23带，各带的中央经线分别为75°，81°，……，135°。