改革数的整除教学内容与教学方法的探讨 上海市浦东新区教育学院：曹培英 一、问题的提出     数的整除作为小学算术、小学数学的教学内容由来已久。这部分内容的特点是概念多，而且抽象，概念之间的联系紧密。因此被认为是小学数学中发展学生的逻辑思维能力，特别是判断、推理能力不可多得的重要内容。然而，这部分内容的一些教学倾向及其效应值得反思。     1．教学过于形式化。     小学数学的绝大多数教学内容都比较讲究问题从实际引入，都比较注重提供直观支柱。但在数的整除教学中，一系列的概念似乎都与现实生活无缘，似乎都难以直观。人民教育出版社的教材中不少地方使用了奎逊耐彩条作直观教具，有些教师或因不习惯或因没有现成教具而弃之不用。于是整个的整除教学，从整数到整数，从概念到概念，学来学去多数学生既不理解概念的实质，又不会运用于实际。     2．助长死记硬背。     数的整除以整数为研究对象，本身就比较抽象。加上不去揭示它的实际意义，也不去寻找它的直观支柱，丢弃了小学数学用来缓解儿童思维特点和学科特点之间矛盾的两种主要手段。在这种情况下，为了“理解”概念，只能求助于抠字眼，求助于背诵概念的条文。难怪有人把数的整除教学与语文教学作类比，称之为数学中的“文言文”教学，想想倒也不无道理。     3．偏题、难题推波助澜。     如果说，考虑到小学生的理解水平和今后的实际需要，那么适当降低一些数的整除概念的教学要求，就不失为明智之举。可是实际情况却常常相反，大量的各种各样的试题都针对着学生最分辨不清、最容易混淆的那几个概念来编制。有些判断题，如“两个质数一定互质”，教师不小心也会上当（忽略了两个质数“不等”的条件）。有些判断题，如“相邻两个奇数一定互质”，本是初等数论的证明题。让小学生做出肯定的判断，除了靠猜、靠记忆结论，还能依靠什么？如果采用举例的方法肯定结论，那就违背了数学的科学准则；如果采用说理即推理的方法说明结论，则多数学生似懂非懂。由于种种原因，类似的题目，一而再、再而三地改头换面不断涌现。于是，学生惊呼：数学到处是“地雷”；家长感叹：小学数学的“牛角尖”难钻。     我们不得不承认，数学教学在这里发生了变异，数学思维的生动活力和创造性被谨小慎微和吹毛求疵淹没了。难道数学的教与学就该把主要注意力集中于“咬文嚼字”，把大量时间精力用于“文字游戏”吗？     看来，是该认认真真地探讨数的整除究竟应当教什么？怎样教？ 二、教学意义的质疑     根据教学系统设计的理论，为了确定教学的内容与方法，首先必须明确教学的具体目的意义。     一般认为，在小学教学数的整除，有三方面的目的意义。一是为后面学习分数知识打好基础；二是使学生获得一些关于整数的知识，即数论的最初步知识；三是使学生的逻辑思维得到发展。下面一一提出质疑。     1．学习分数知识的需要。     我们知道，学习分数需要数的整除知识提供支持。具体地说，学习约分，需要用到整除和公约数的概念，以及能被2、5、3整除的数的特征；学习通分，需要用到公倍数、最小公倍数的概念，以及求几个数最小公倍数的口算。这些基础比较重要，确实在起作用。除此之外，在描述约分的结果“最简分数”时，用上互质数的概念语言可精炼些；在总结一个分数能否化成有限小数时，有了质因数的概念叙述更方便些。仅此而已。比如，不引进互质数的概念，最简分数可描述为“分子分母的最大公约数是1的分数”。可见，如果仅仅是为了满足学习分数基础知识的需要，那么现行的整除知识体系可以大大简化。     2．教学数论初步知识的价值。     从实用价值看，尽管数论在现代密码技术等领域有出人意料的重要应用，但还是只需极少数人去研究它、应用它。既然如此，为什么要让绝大多数学了无用的人去陪读呢？     从继续学习的基础价值看，在整个初、高中的数学学习中，数的整除知识都是可有可无的。比如，学习因式分解并不需要分解质因数作基础。又如，目前高中教学集合时，习题中会涉及整除的有关知识，但只是作为集合的具体内容即集合知识的一种载体来使用，完全可以换成其他内容。事实上，到出现这些习题时，绝大多数学生已将小学学习的数的整除彻底遗忘。     显然，就数论初步知识的教学功能而言，把学习分数的必要基础以外的内容，处理成供学有余力且感兴趣的学生选学的内容，比较适宜。     3．逻辑思维训练的功能     早在上个世纪，人们就认识到人的各种能力可经训练，由劣变优。当时认为若要训练某种能力，只要训练其形式即可。长期、系统的研究表明，形式训练说的观点不能成立。同样，当学生尚处于“生看活剥”地从文字面上、形式上理解概念的阶段时，就大量地运用概念进行判断、进行推理，是得不偿失的，而且这种情况下的思维训练，很容易蜕变为记忆训练。换句话说，有效的逻辑思维训练，必须适应学生的思维水平和理解能力；反之，所谓的思维训练就徒有其表，只剩形式了。     另一方面，小学数学中可用来训练学生逻辑思维的内容很多。即使是最简单的计算，如5＋7，从5＋5＝10，推出 5＋6＝ 11，5＋7＝ 12，就是一种初步的递推训练；又如在识别图形时，根据“长方形对边相等”的特征，推出“对边不相等的四边形不是长方形”，就是一种由原命题推出逆否命题，并依据逆否命题进行演绎推理的训练。     因此，数的整除教学的逻辑思维训练功能，难以通过学习心理与教学法的检验，它的地位是可能动摇，可以替代的。     综合以上分析，作为面向全体的教学内容，数的整除的教学目的意义，主要是为学习分数作好必要的知识准备。当然，和其他教学内容一样，我们也希望通过这些知识的教学能够真正促进学生的发展，而不仅一仅促进应试。 三、精简分析现行教材中数的整除的教学内容，由整除和约数、倍数引人公约数、公倍数是建立最大公约数和最小公倍数概念所必需的。而由约数的概念引进质数、合数，以及质因数、分解质因数是为了导出短除的算法；由公约数的概念引进互质数是为了说明短除法除到何时为止。     正是由于知识间的这些内在联系，以致以往的教材分析常常把短除法视为在小学学习整除知识的核心。那么，短除法是否真有那么重要呢？     首先，短除法只是分解质因数的一种模式化的便于模仿的书写形式。当几个数既不太小又不太大时，用它来求这几个数的最大公约数和最小公倍数确很方便。当几个数较小时，就没必要短除；当几个数较大时，由于很难找出它们的公有质因数，就要改用辗转相除法。虽说辗转相除法有它的局限性，但可以不费思索地求出两个大数目的最大公约数。在初等数论中，分解质因数是必须讨论的，同时也会给出辗转相除法，一般不介绍短除法。     其次，在进行分数四则运算时，几乎没有学生选用短除法求出分子、分母的最大公约数再来约分的。需要通分时，也很少有学生用短除法求几个分母的最小公倍数作公分母，通常都是采用口算确定公分母。尤其是现在分数四则运算趋于简化，分子、分母都在20以内，甚至10以内，更不需用短除法求分母的最小公倍数了。而且，通分也应当允许学生用原分母的公倍数作公分母，就是用原来两个分母的积作公分母也不失为一种可供选择的通分方法，因为这种方法自有它的一些优点。     由此可见，短除法既无理论价值，又失去了继续学习的基础价值，可以将它从必学内容中删去，取而代之的是口算法。例如：     求12和 18的最大公约数。     方法：用12的约数从大到小依次试除18。     过程：12不能整除18，6能整除18，所以6是12和8的最大公约数。     求8和10的最小公倍数。     方法：用10的倍数从小到大依次试除以8。     过程：10、20、30都不能被8整除，40能被8整除，     所以40是8和10的最小公倍数。     很明显，上述算法以整除、最大公约数、最小公倍数的概念为依据，以口算为基础，算理明白，思路清晰，学生易于掌握，便于检查，也比较实用。更重要的是这种算法有利于理解概念，有利于培养根据概念主动试探的意识。当然，用这种方法求三个数的最小公倍数不如用短除法简捷。但是今后不会再要求学生无论什么计算，都要熟练、迅速。而且分数简化之后，尤其是冲破通分的僵化要求后，求三个数的最小公倍数也就没有必要再列入面向全体的一般要求了。     基于上述分析，笔者以为在义务教育的小学阶段，数的整除作为一般要求的内容包括整除、约数与倍数、公约数与最大公约数、公倍数与最小公倍数、奇数与偶数等概念，能被2、5、3整除的数的特征，以及口算求两个数的最大公约数、最小公倍数。其他内容，有些（如分解质因数）可作只教不考处理，有些（如求最大公约数、最小公倍数）可列入选学范围。     概念的可行性四、教学方法的改进     教学内容精简之后，很多难点随之消失，师生双方能得到一定程度的解放。对于精简后的内容，为了达到真正促进学生发展的目的，相应的教学处理、教学方法也应加以改进。这里仅就有关概念的教学提两点建议。     1．揭示整除与约数、倍数概念的同一性。     在以往的教学中，总是先给出整除概念，再由整除引出约数、倍数，并向学生指出整除是约数、倍数的前提，约数、倍数是整除的发展。这里，与其说是三个不同的概念，不如说是同一概念的不同叙述。例如，因为8÷4＝2，所以说8能被4整除，或4能整除8，也可以说8是4的倍数，或4是8的约数。显然，这几种叙述方式都是反映了同一个数学事实，是揭示两数之间同一种关系的几种等价说法。在已故数学家陈景润著的《初等数论Ⅰ》（科学出版社，1987年版）中，上面四种不同说法被包括在定义1里。     从便于学生学考虑，为了分散难点，将三个名词分两次出现是可取的，但没有必要在这三个名词之间人为地赋予概念间的递进发展关系。实践表明，把约数与倍数解释为整除的另一种说法，不仅简化了知识结构，减轻了记忆负担、而且有助于理解概念的实质，有助于正确使用术语。比如，学习偶数时，很多学生可以用“能被2整除”，“2的倍数”，“含有约数2”等不同表述概括偶数的本质特征。     2．揭示概念的现实意义。     教学数的整除，以一些具体的整数为例来说明有关知识，这是很自然的，也是必要的、可行的，但又是不够的。还应当联系学生所熟悉的生活实际，揭示概念的现实意义。例如，以“分成人数相等的小组”为题材：     甲班有36人，乙班有40人，分别分成人数相等的小组。     （1）甲班有哪几种分法？乙班呢？     （2）要使甲、乙两班的每组人数相等，每组可以是几人？每组最多是几人？     用数的整除的语言来描述，第（l）题是考虑36、40各有哪些约数，或者说36、40各是哪些数的倍数，36、40分别能被哪些数整除。第（2）题是考虑36和40有哪些公约数，它们的最大公约数是多少。     通过诸如此类的实际问题，使学生认识这些概念的现实意义，可以激活学生的生活经验、常识来帮助理解所学概念，而且还能促进学生用数学的眼光去认识、去分析周围的事物。因此，现实背景与抽象形式的相辅相成应当成为数的整除教学，乃至整个小学数学教学的策略原则之一。