第二节 数学的研究对象、特征与发展     小学数学学科是按照一定的需要遵循一定的原则，从数学科学中精心选择和编排形成的。作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的区别。认识数学科学的研究对象、主要特征和发展过程有助于人们确定和理解为什么进行数学教育，认识数学教育的规律和特点。 一、数学的研究对象     数学是人们认识自然认识社会的重要工具，千百年来人们不断地探索和认识数学、理解和运用数学解决现实问题。对数学的认识也在不断地演变和发展。数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学研究对象的认识的看法。恩格斯在《反杜林论》中指出，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料”。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在数量关系和空间形式方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。空间形式主要是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化，形成数学科学体系。     随着数学科学的发展，对数学本质的认识也在发展，数学的研究对象也在扩展，对数学的认识也不断深入，人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世界的模式的科学。数学通过揭示各种隐藏着的模式，帮助我们理解周围的世界。无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。数学思维是从抽象开始的，人们用数学的方法认识周围世界时，可以忽视某些无关因素，而思考更为本质的问题。这样的过程，数学家称之为定量思维。人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，再回到现实中进行检验。从这个意义上，数学可以看作是一种技术或一种模型。“如今的数学远非只是算术和几何，而是由许多部分组成的一门学科。它处理各种数据、度量和科学观察；进行推理、演绎和证明；形成关于各种自然现象、人类行为和社会体系的数学模型。人们在从数据到演绎再到应用这个周而复始的周期中运用着数学；从日常家庭生活，如计划一次长途汽车旅行，到一些大型管理问题，安排航空交通或设计投资组合。‘做数学’的方法远非只是计算或演绎，还包括观察模式，验证猜想和估计结果。”      数学还可看作是关于客观世界的数学化的过程。数学家们发现，在数学研究过程中，一个基本的数学过程的循环，它反复出现，形成了最基本的模式，这就是抽象、符号和应用。而这与人类的基本认识规律是一致的。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为数学化就是数学地组织现实世界的过程。“数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收”（弗赖登塔尔，1999，P.42）。数学化的过程包括横向数学化与纵向数学化。横向数学化的过程把生活世界引向符号世界，将实际的问题抽象为数学问题的过程。纵向数学化的过程是在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用。学生不仅要认识已经抽象化了的数学公式与原理，而且要认识数学化的过程，从问题情境出发，了解建立数学模型的过程。     认识和理解数学的研究对象，有助于我们准确地把握数学科学的基本问题，正确地认识数学在社会进步和个体发展中的作用。数学所揭示的现实世界的数量关系和空间图形，通过数学化的过程使人们对事物的规律和模型产生一定的认识，这对于每一个公民和每一种行业都是需要的。从这个意义上讲中，数学教育的重要是不言而喻的。