解线性方程组

的高斯消元法的消元过程实质是用一系列形如

的矩阵依次左乘方程组两边 ,从而得到系数为上三角阵的同解方程组

若只考虑系数矩阵 ,则有

若令

则得          ，                                        (4.8)

将矩阵 A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵R的分解式,称为 Doolittle分解。

若已经求出了矩阵A的三角分解式 ， 则解线性方程组 。

   而高斯消元法的消元过程实质是完成三角分解 ， 并解线性方程组 。而回代过程则是解方程组 。

    若高斯消元法可实行，则三角分解式 就能够完成， 而已知高斯消元法可实行的条件是元素 全不为零，这个条件怎样在原矩阵 上反映出来？下面进行具体分析。

    设 为矩阵 的既在前 行又在前 列的 个元素所形成的矩阵，既矩阵 的 阶主子矩阵， 为矩阵 的 阶主子行列式（简称 阶主子式）。

定理 4.1 若 , 则存在唯一单位下三角阵 L 和上三角阵 R. 使得           
                          A=LR

*证明 ，则有

再由，得，所以有

再由，得

，

依次类推，由可得

                                   
全不为0，

即高斯消元法可实行，所以存在单位下三角阵L和上三角阵R，使得A=LR。

下面证明分解的唯一性。设另有分解

则有

用左乘上式两边得

显然仍为单位下三角阵，设，则有，与R为上三角阵矛盾，所以为单位阵，。

若取 ， 则有
                               ，                               （4.9）

式（ 4.9）中 为单位 下三角阵， 为对角阵， 为单位上三角阵，分解式（ 4.9 ）称为阵 的 分解 。

若将 合并成一个下三角阵 ，而 为单位 上三角阵，则实现了阵 的另一种分解：                                 ，                                 （4.10）

分解式（ 4.10）称为矩阵 的 Crout分解 。

推论 若 , 则存在唯一的单位下三角阵L 、对角阵D和单位上三角阵 U ，使得
                                    

其中                                 。

例2　　已知矩阵

检验 是否满足三角分解的条件，若满足条件，则进行 分解．

解 　　因为 ， ， ，所以 满足三角分解条件，　下面用高斯消元法分解

　　因为 ，存在消元阵 ,使得

由 ,存在消元阵 ,使得

于是有

再取

于是有

再取

于是有

练习 4.1

1.用高斯消元法解方程组

2．完成矩阵A的Doolittle，LDU,Court分解。

练习题答案