在高斯消元法的消元过程中，若出现 ，则消元过程就无法进行下去，即使 ，但数值很小，用它作除数，也会引起误差的极大增长，导致数值不稳定，使计算结果不可靠，为了使消元过程能够顺利进行和提高消元方法的数值稳定性，广泛采用选主元的消元法，根据选主元的方式不同而分为 列主元消元法和全主元消元法。

    列主元消元法的具体做法是，在进行第 步消元时，首先在第 列下面的 个元素中选取绝对值最大的元素 ，即

                                               （4.11 ）

称为列主元素，主元素所在的第 个方程称为主方程，然后将主方程与第 个方程交换位置（当 时不动），再用高斯消元法完成第k次消元。

例3.  用列主元消元法解线性方程组

解 第一列主元为 , 第二个方程为主方程 , 交换第一、二两个方程的位置，则得

消去第二、三个方程中的 ，则得

第二列主元为 -2.5 , 第三个方程为主方程 , 交换第二、三个方程的位置，然后消去第三个方程中的 ，则得

用回代过程解此方程组得