高斯消元法的消元过程实质是完成了分解 ， 现在我们讨论主元消元法与矩阵分解的关系，为此介绍两类重要初等矩阵

形如：

的换行阵称为对换阵，而对换阵之积称为置换阵，对一个对换阵 ，显然有                                                    。

定理 4.2 若n阶矩阵A非奇异, 即detA≠0,则存在n阶置换矩阵P, 元素绝对值不大于1的单位下三角阵L和上三角阵R,使得

                          PA=LR                      （4.13）

*证明 ,在 的第一列中存在主元 , 则有对换阵 和消元阵 ,使得

由 ,在 的第一列中存在主元 , 则有对换阵 和消元阵 ,使得

继续做 步则得到上三角阵 , 即

由 得

其中 , ,

是由单位下三角阵 的第 列对角以下元素交换位置得到 ,　因此， 仍为单位下三角阵，且对角线以下元素绝对值不大于１．

　全主元消元法与列主元消元法的区别在于除进行行交换外，还进行列交换，于是可得与全主元消元法相应的三角分解定理如下:
定理 4.3 若n阶矩阵A非奇异,　即detA≠0,　则存在n阶置换矩阵P和Q,元素绝对值

不大于 1的单位下三角阵L和上三角阵R,　使得

               PAQ=LR                   (4.14)

证明 　略．　

练习 4.2

1. 用列主元消元法解方程组。

2. 用全主元消元法解上述方程组。

练习题答案