当 时,则存在矩阵A的三角分解式

只要能设法求出 的元素, 则 解线性方程组 可归结为解两个系数为三角阵的方程组

            ，                  (4.15)

而 (4.15)很容易求解.

紧凑格式就是利用矩阵乘积及矩阵相等的法则 , 由矩阵A的元素逐步计算出矩阵 的元素,从而直接完成三角分解 。然后再用代入法解三角阵的方程组

例 5 用紧凑格式法解线性方程组。

解 首先直接完成矩阵A的三角分解

根据矩阵乘法法则及矩阵相等的定义，

用 第1行乘 各列得

再用 第2、3行乘 第1列得

用 第2行乘 第2、3列得

再用 第3行乘 第2列得

最后再用 第3行乘 第3列得

于是得矩阵 A的三角分解式

然后 解单位下三角形方程组

即

由第一个方程开始逐个代入得

再解上三角形方程组

即

由第三个方程开始逐个回代得